numeri costruibili

Partiamo da questa domanda.

Come si traduce un problema geometrico nel linguaggio dell’algebra?

Ogni problema relativo ad una costruzione geometrica è del seguente tipo:

dato un certo insieme di segmenti a,b,c,...si chiede di costruire uno o più segmenti x,y,....

Supporremo per semplicità che ci si chiede di determinare soltanto un segmento x

( si può trattare di x come somma, o prodotto, o rapporto di a,b,c, e così via)

La costruzione geometrica equivale al problema algebrico di determinare una relazione (equazione) tra la quantità richiesta x e le quantità assegnate a,b,c, segmenti, ad esempio. Indi si deve trovare la x risolvendo questa equazione. Infine si deve stabilire che si può ottenere questa soluzione con procedimenti algebrici che corrispondano a costruzioni geometriche con la riga e il compasso.

Dati ad esempio due segmenti a e b, sappiamo costruire

X=a+b,

X=a-b,

X=k*a,

X= a/b

X= a*b.

Tutte le operazioni razionali algebriche, cioè, addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, possono essere eseguite mediante costruzioni geometriche e le quantità che si ottengono costruiscono un

campo di numeri,generato da a e da b, che possiamo chiamare costruibili.

L’estrazione di radice quadrata è la nuova operazione, decisiva, che ci conduce fuori dal campo ottenuto. Sappiamo costruire Ö a con la riga e il compasso . Dunque anche alcuni numeri irrazionali, come Ö a, sono costruibili.

Allora sono costruibili tutti quelli del tipo h+kÖ a, e la somma, la differenza, il prodotto, il rapporto, e la radice di radice di questi numeri, allargando sempre più il campo dei numeri costruibili.

Sono allora numeri costruibili quelli e soltanto quelli che si possono ottenere con una successione di campi estesi del tipo introdotto, che definiremo radicali quadratici

Ad esempio è costruibile:

Torniamo allora al nostro problema. E’ costruibile ^3Ö2?

Supponiamo che lo sia.

Allora dovrà essere del tipo

h+kÖ a,

certamente costruibile. Ora è facile dimostrare che:

se h+kÖ a è soluzione di x³ –2=0, lo è anche h-kÖ a.

Ma ciò non è possibile, perché l’equazione ammette, come è noto, una sola radice reale e due complesse.

Dunque siamo giunti a un assurdo, pertanto il nostro ^3Ö2, lato del cubo di volume doppio, non è costruibile con riga e con compasso.

Si deve al matematico Peterson questo interessante risultato:

Condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché un'equazione algebrica sia risolubile per radicali quadratici è che il suo grado sia una potenza del due.

La condizione, naturalmente, non è sufficiente. Nel secolo sedicesimo i matematici avevano inventato metodi per risolvere equazioni di terzo e di quarto grande mediante radicali quadratici. Sembrava naturale estendere questi metodi alle equazioni di grado successivo. Ma tutti i tentativi fallirono, sino a che l'italiano Ruffini e il genio norvegese Abel, alla fine del '700, dimostrarono la

_{impossibilità
di risolvere l'equazione algebrica di grado n per mezzo di radicali,}

ovvero solo per mezzo di operazioni razionali e di estrazioni di radici.

Gauss, nella ricerca della soluzione, scoprì ad esempio che si possono costruire i poligoni di p lati solo se p è un numero primo di Fermat, del tipo:

p=2^2ⁿ +1

quindi di 3, di 5, di 17, di 257..lati. Aveva 17 anni!

Non a caso il monumento a Gauss a Gottinga ha un piedistallo che ha la forma di un poligono regolare di 17 lati!