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Vediamo invece alcune delle più interessanti risoluzioni di questo problema,
dovute ai geometri greci.
Ippocrate di Chio
( quinto secolo A.C.) era originario dalla Ionia e verso il
430 lasciò la terra dove era nato per trasferirsi ad Atene come mercante.
Aristotele racconta che durante il viaggio, a Bisanzio fu defraudato di tutto il
suo denaro. Comunque egli non ebbe mai a lamentarsi di tale incidente, anzi lo
considerò come una grande fortuna giacché in conseguenza di esso egli rivolse
tutti i suoi interessi allo studio della geometria, ove ottenne successi
notevoli. Proclo, un grande storico successivo, scrive che Ippocrate compose un’opera,
Elementi di geometria, che anticipava di oltre un secolo i più famosi Elementi
di Euclide, che è andata perduta. Di fatto del secolo eroico, il quinto secolo,
non ci è rimasto nessun trattato matematico.
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Ippocrate affrontò anche il problema della quadratura del cerchio, con le
lunule di cui poi parleremo. Per ciò che riguarda il nostro problema osservò
che esso può ricondursi all’inserzione di due medie geometriche tra i numeri
a e 2 a , cioè alla determinazione di due segmenti, di misura x, y, tali che
risultino le proporzioni
a: x = x:y = y:2 a.
Infatti segue da esse che x2
= ay , y2= 2a x , da cui: y=x2 /a e quindi x4/a2
= 2 a x cioè semplificando x3 = 2 a3.
Non meravigli il ragionamento. Mentre
è di norma oggi ragionare con simboli algebrici, in
Grecia furono i geometri che si imposero, esperti nell'uso delle proporzioni
per trasformare aree. E' evidente ad esempio che essi
non avevano nessuna difficoltà a trasformare un rettangolo di lati a, b, in
un quadrato, inserendo il termine x medio proporzionale tra a e b. Era
naturale che tentassero di generalizzare il problema usando due termini
medio proporzionali tra due grandezze a e b=2 a
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