concoide

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Anche per questo problema i geometri greci idearono alcune costruzioni geometriche, ricorrendo a curve opportune. Accenniamo brevemente ad alcune di esse

LA CONCOIDE DI NICOMEDE

Data una qualsiasi curva piana, di equazione polare r = f(q ) dicesi sua concoide la curva di equazione r = f(q )± d, con  d costante arbitraria. In altre parole i punti della concoide di una data curva, rispetto a un polo O e ad una costante d, si ottengono prolungando o accorciando i segmenti congiungenti il polo con i punti della curva data, di un segmento d.

Nel caso di Nicomede, si tratta della concoide della retta.

Per determinarne l’equazione si prenda il punto O come polo di un sistema polare e la perpendicolare da esso alla retta come asse polare. Detta a la distanza di O dalla retta, questa avrà come equazione:

r = a / cos(q ), cosicchè la sua concoide avrà come equazione:

r = a / cos(q )± d.

passando in coordinate cartesiane, con semplici calcoli si ottiene:

( x-a)2 ( x2 + y2) = d2 x2, 

che è una quartica simmetrica rispetto all’asse delle x il cui grafico è il seguente, nel caso d > a:

 

Utilizziamo la curva per risolvere il nostro problema. Sia AOB un angolo qualunque; da un punto arbitrario C del lato OB si conduca la perpendicolare CD al lato OA e si consideri la concoide della retta CD rispetto al polo O, di costante d = 2 OC.La parallela ad OA, uscente da C incontra la concoide in E; si congiunga E con O e si dimostriamo che

 AÔE = 1/3 AÔB

A questo scopo diciamo F l’intersezione di OE con CD e G il punto medio di EF.

Per la definizione di concoide, sarà: EF = d= 2OC e quindi EG = GF = OC = d/2.

D' altra parte FCE =p /2 ed allora CG, come mediana relativa all’ipotenusa EF del triangolo rettangolo EGF, sarà metà dell’ipotenusa stessa, cioè 

CG = FG= OC.

Ne segue che i triangoli COG e CGE sono isosceli e quindi:

COG = OGC = 2 CGE = 2 CEG.

Ma CEG = EOA e perciò GOC = 2 EOA o anche 

BOA = COA = 3 EOA.