cissoide

La più bella risoluzione geometrica del problema di Delo è comunque quella che utilizza la

CISSOIDE DI DIOCLE.

Ricordiamo brevemente la definizione di tale curva:

se AB è un diametro di una circonferenza qualsiasi e t è la tangente ad essa nell’ estremo B, si consideri il fascio di rette di centro A e su ciascuna di esse si riporti un segmento AP, da A verso la tangente, uguale al segmento compreso sulla stessa retta tra la circonferenza e la tangente: AP=MN.

Dette r e j le coordinate polari del punto P che descrive il luogo, si ha:

AP=r = MN=AN-AM= 2r/cosj -2r cosj =

2r sen² j / cos j

Passando poi a coordinate cartesiane, e ricordando che

x= r cos j y= r sen j r =Ö (x² + y²)

x(x² + y²)= 2r y², ovvero :

x³= (2r-x)y²

Indichiamo ora con a il lato del cubo da duplicare. Si prenda la cissoide relativa alla circonferenza di diametro AB = a, e dunque di equazione:

x³= (a-x)y²

Si riporti sulla tangente in A alla circonferenza un segmento AS= 2a, si congiunga S con B.

Detta U l’intersezione della SB con la cissoide, si unisca U con A; se T è l’intersezione della AU con la tangente in B alla circonferenza, sarà BT il lato del cubo di volume doppio di quello considerato.

Infatti dalla similitudine dei triangoli SAB e UHB risulta:

SA: AB= UH: HB ovvero 2°: a= y: a-x e pertanto: y/(a-x) = 2

Ma dell’equazione della cissoide:

x³= (a-x)y² segue :

1/(a-x)= y²/ x³ e, sostituendo nella precedente :

y³/ x³ = 2

Inoltre, dalla similitudine dei triangoli ATB e AUH risulta

BT: a = y: x da cui: BT/a = y/x e pertanto: (BT/a)³ = (y/x)³ = 2.

Allora:

BT³ = 2 a³,

il che dimostra l’asserto.