Nella scuola pitagorica scienza e filosofia , musica e religione si fondono inscindibilmente in una mistica contemplazione dell ‘ universo . Secondo Proclo Pitagora trasformò lo studio della matematica in una vera scienza , considerando le fondamenta di essa da un punto di vista più elevato ed indagandone i teoremi sotto un aspetto astratto ed intellettuale . Matematico e filosofo greco nato a Samo verso il 575 A.C. . A quarant’anni si stabilì a Crotone dove fondò una propria comunità di carattere religioso che prese il nome di Scuola Italica . Verso il 500 , una sommossa provocata dal partito democratico cacciò i pitagorici da Crotone . Pare che Pitagora sia riuscito a fuggire a Metaponto , ove morì qualche anno dopo . E’ difficile stabilire quali risultati siano dovuti a Pitagora personalmente e quali ai suoi discepoli ; il merito principale della scuola pitagorica è la fondazione della scienza dei numeri portata oltre le regole pratiche del calcolo . Pitagora è il celebre creatore di un sistema filosofico nel quale l’elemento primordiale non è di natura tangibile , ma un essere di ragione , cioè il numero , considerato come l ‘ essenza stessa delle cose.

Le leggi della formazione della realtà sono , per i Pitagorici , quelle stesse della formazione dei numeri . I numeri sono rappresentati come collezioni di punti separati da spazio vuoto e distribuiti in ordine particolare a seconda dei casi . I numeri dispari , per esempio , sono rappresentati come punti disposti in modo da formare la figura della squadra del falegname ( lo gnomone ) . Nasce così l aritmetica figurata Essa indaga sui numeri tenendo presenti le figure geometriche che li rappresentano .

E’ facile dimostrare per questa via che ogni numero dispari è uguale alla differenza di due quadrati . Precisamente dei quadrati dei due numeri consecutivi di cui il numero dato è uguale alla somma .

L’adesione di una scuola filosofica , come la pitagorica , a tali forme propriamente magiche , può suscitare meraviglia in chi sia stato partecipe del senso di elevato razionalismo che pervade la scuola ionica . Il cammino della vita è la filosofia , cioè lo sforzo verso la saggezza inteso come fattore di elevazione morale . Ed è caratteristico del genio greco che l’attività artistica e scientifica verso il bello ed il vero assumano qui un significato religioso . Oggi essi appaiono come sogni di menti ammalate ; ma , coprendo con la bandiera della << geometria mistica >> i frutti della pura ricerca scientifica , i Pitagorici ne facilitarono la diffusione anche fra coloro che non sarebbero stati in grado di apprezzare il valore di una scienza allora in fasce .

I numeri erano concepiti come punti , ossia come masse , ed erano di conseguenza concepiti come solidi e quindi il passaggio dal numero alle cose fisiche era ovvio .

L illimitato è il vuoto circondante il tutto ed il mondo nasce mediante una sorta di << inspirazione >> di questo vuoto da parte di un UNO ( la cui genesi non viene ben specificata ) . Il vuoto che entra con la inspirazione e la determinazione che l ‘ UNO produce inspirandolo dà origine alle varie cose ed ai vari numeri .

I Pitagorici collegarono il Divino col numero . Non con il numero 1 ma con il numero 7 , il quale è reggitore e signore di tutte le cose , dio , unico , eterno , solido , immobile , uguale a se stesso , diverso da tutti gli altri numeri . Il 7 , all’interno della sacra decade , non è generato ( non è il prodotto di due fattori ) , è un numero primo , né genera altri numeri , e ciò che non è generato e che non genera è immobile .

Il numero 2 rappresentava la donna , il numero 3 rappresentava l’uomo , il numero 4 rappresentava la giustizia perché è il prodotto di due numeri uguali .

Ciascun numero possedeva a sua volta attributi suoi particolari . Il più sacro di tutti era il numero dieci o tetractys , poiché esso rappresentava il numero dell’universo . Infatti conteneva la somma di tutte le dimensioni geometriche possibili . Un punto è il generatore delle dimensioni , due punti determinano una linea ad una dimensione ( retta ) tre punti ( non allineati ) determinano un triangolo con un’area a due dimensioni ,e quattro punti ( non giacenti su uno stesso piano ) determinano un tetraedro con un volume a tre dimensioni .

La somma dei numeri ( 1+2+3+4=10 ) rappresentanti tutte le dimensioni è il venerato numero dieci .

La raffigurazione mostra che il numero è uguale a . Ma c’è di più . Nella decade sono contenuti ugualmente il pari ( quattro numeri pari : 2,4,6,8 ) ed il dispari ( quattro numeri dispari : 3,5,7,9 ) . La decade contiene 4 numeri primi ( 2,3,5,7 ) e 4 numeri composti ( 4 , 6 , 8 , 9 ) .

L ‘ uno equivale al punto , il 2 alla linea , il 3 al triangolo ( e quindi alla superficie ) , il 4 alla piramide ( e quindi ad un generico solido ) : i punti , le linee , le superfici , i solido sono in grado di generare tutte le cose che esistono in natura .

Seconde le vedute di Pitagora i 4 numeri della sacra tetracktys sono in grado di generare tutta la realtà che ci circonda .

Per i pitagorici la sostanza primitiva infinita dà origine alla materia propriamente detta per condensazione attorno ad un gruppo di punti o centri monadici . Intorno ad ogni centro monadico si forma un piccolo nucleo compatto , la monade , che rimane circondata e separata dalle altre monadi da qualcosa di rarefatto come l’etere .

Ogni numero si identificava con qualche attributo umano . Il numero uno rappresentava la ragione perché è immutabile ; il numero due l’opinione ; il numero quattro la giustizia perché è il primo quadrato perfetto , prodotto di due numeri uguali ; il numero cinque il matrimonio perché è l’unione del primo numero maschile e del primo numero femminile Qualcosa di analogo si trova , ed è molto strano , nella mitologia cinese , nella quale i numeri dispari erano i simboli di bianco , giorno , calore , sole , fuoco mentre i numeri pari rappresentavano il nero, la notte ,il freddo , la materia , l’acqua , la terra . I numeri erano disposti su una sacra tavoletta , chiamata LO-Chou , che , opportunamente usata , aveva proprietà magiche .

numeri pentagonali : numeri esagonali :

Liberata del suo misticismo , la filosofia pitagorica conteneva l’idea fondamentale che soltanto attraverso il numero e la forma l’uomo possa afferrare la natura dell’universo . Questo concetto troviamo espresso nel pensiero scientifico di Filolao il migliore discepolo di Pitagora .

Si dice che la scienza di Pitagora è una matematica del discontinuo , perché essa si fonda esclusivamente sui numeri interi e su ciò che può essere espresso con i numeri interi ( per esempio sulle frazioni ordinarie e non , invece , sui numeri irrazionali ) . Secondo essa , l’accrescimento di una grandezza procede per << salti discontinui >> essendo impensabile aggiungere qualcosa che sia minore dell’unità . Taluno giunge a riconoscere nelle teorie quantistiche moderne una sopravvivenza dell’antica eredità pitagorica sotto forma di concezione discontinua dell’energia .

Il secondo notevole contributo di Pitagora alla matematica ci mette di fronte a dei problemi vitali nel mondo della matematica . Si tratta della sua scoperta da cui fu umiliato e sconvolto , che i numeri naturali sono insufficienti a costruire la matematica , anche nella forma rudimentale da lui conosciuta . Prima di questa scoperta capitale egli aveva predicato , come un profeta ispirato , che tutta la natura , l’universo intero, ogni cosa matematica , fisica , metafisica , morale riposa sul modulo discreto dei numeri naturali e può essere interpretato per mezzo di questi elementi datici da Dio. Dio , dichiarava Pitagora , è numero , anzi meglio è << numero intero >> .Una dura contraddizione distrugge le teorie matematiche , metafisiche e filosofiche di Pitagora ma , contrariamente a certi suoi successori , egli accetta infine la sua disfatta , dopo essersi sforzato , senza successo , di sopprimere la scoperta che aveva distrutto la sua fede .

Ciò che aveva fatto fallire la sua teoria è l’impossibilità di trovare due numeri interi tali che il quadrato dell’uno sia uguale al doppio del quadrato dell’altro . In termini geometrici possiamo dire che il rapporto tra il lato e la diagonale di un qualsiasi quadrato non può essere espresso dal rapporto di due numeri interi .

Con questa scoperta Pitagora fondò l’analisi matematica moderna .

Questo semplice problema ha dato origine a problemi concernenti i concetti matematici dell’infinito , dei limiti , della continuità , concetti che si trovano all’origine dell’analisi moderna .

Due numeri interi a e b sono detti numeri amicabili o numeri amici se a è la somma dei divisori di b escluso b e b è la somma dei divisori di a escluso a . I più piccoli numeri che formino una coppia del genere sono e .

Sono numeri perfetti : , , , ,

Si chiamano numeri collega di classe n due numeri tali che ognuno di essi sia uguale alla somma delle cifre dell’altro elevata alla potenza n .

I numeri e sono numeri collega di secondo grado in quanto risulta :

I numeri e sono numeri collega di terzo grado in quanto risulta :

Si ricercano quelle terne di numeri interi ( naturali ) tali che il quadrato di uno di essi sia uguale alla somma dei quadrati degli altri due . Con linguaggio moderno diremmo che si ricercano le soluzioni intere dell’equazione a tre incognite .

Pitagora riesce a dare la formula per x dispari . In questo caso si ottiene una terna pitagorica ponendo : , ,

La formula per x pari è stata data da Platone .

Se x è pari abbiamo : , ,