I problemi di costruzioni sono sempre stati uno degli argomenti favoriti della geometria. Come sapete, con riga e con compasso si può eseguire una grande varietà di costruzioni: bisecare un angolo, condurre da un punto la perpendicolare a una retta data, inscrivere un esagono regolare in un cerchio, e così via.

Nel corso dei secoli successivi molti matematici si sono misurati con questi problemi, costruendo intorno ad essi un’aurea di mistero e di fascino che ancora oggi li circonda.

I problemi sono stati naturalmente risolti, in vari metodi geometrici e algebrici. Il punto è che 

essi non sono risolvibili secondo le regole che i matematici greci si erano dati, cioè unicamente con la riga e con il compasso. 

Dopo molti secoli di tentativi, infatti, i matematici si sentirono sfidati a cercare una risposta alla domanda:

Come si può dimostrare che certi problemi non possono essere risolti?

 

Fu la tendenza all'algebra, che si affermò a partire dal 1500, a dare la risposta attesa.

Servendosi infatti della teoria delle equazioni, o anche di teorie algebriche più avanzate, assieme alla geometria euclidea elementare e alla geometria analitica, sono stati dedotti dei

criteri per la possibilità di eseguire costruzioni con riga e con compasso. 

Questi criteri, di cui parleremo, mostrano che 

una costruzione è possibile se, e solo se, formulata algebricamente, porta a un certo tipo di equazioni.

E’ stato dimostrato, ecco il punto, che nessuno dei tre problemi conduce al tipo di equazioni richiesto, è quindi si è potuto concludere che tali costruzioni sono impossibili.

Molti metodi diversi dal procedimento rigoroso con riga e con compasso, sono stati ideati dai matematici greci e dai matematici dei secoli successivi, per ottenere tutte le costruzioni desiderate.

Naturalmente tutti questi metodi non risolvono il problema nella sua forma originale, ma ciò nonostante essi hanno contribuito all’accrescimento delle conoscenze matematiche. Il punto più alto in questo campo è stato raggiunto alla fine del diciannovesimo secolo con la notevole dimostrazione, dovuta al matematico Lindemann attorno al 1880, che il numero Õ è trascendente, quindi non può soddisfare nessuna delle equazioni richieste dai criteri di costruttibilità. Ciò dimostra che ogni costruzione geometrica con riga e con compasso proposta per quadrare il cerchio è impossibile.

Torniamo ai nostri tre problemi, inquadrandoli storicamente e definendone gli sviluppi.