numeri algebrici

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Rimaneva però un altro problema aperto, o meglio il problema dei problemi

Si sa che anche il numero √2 è un numero irrazionale, cioè un numero decimale illimitato aperiodico. Tuttavia è possibile costruirlo con riga e con compasso. E’ allora spontaneo chiedersi: vale ciò anche per il numero П? 

E’ possibile costruire con riga e con compasso un segmento lungo П?

Già abbiamo parlato dei numeri costruibili e dei campi che li contengono.

Orbene esiste un importante teorema dell’algebra il quale afferma che:

Tutti i numeri costruibili sono algebrici.

Definiamo numero algebrico un qualsiasi numero x, reale o complesso, che soddisfi un’equazione algebrica del tipo:

an xn + an-1 xn-1+.........+a1x + ao=0,

dove le ak sono numeri interi.

Per esempio Ö 2 è un numero algebrico, perché soddisfa l’equazione :

x2 –2 =0.

Non tutti i numeri reali sono algebrici. Cantor dimostrò che i numeri algebrici sono numerabili, si possono cioè contare, mettendoli in corrispondenza biunivoca con N, mentre i numeri reali non sono numerabili, hanno la cosiddetta 

POTENZA DEL CONTINUO

 

Esistono cioè dei numeri reali che non sono algebrici. 

Essi sono detti trascendenti, perché, come disse Eulero "trascendono il potere dei numeri algebrici".

Torniamo allora a P . In base alla nostra trattazione sui numeri costruibili, 

se P non è algebrico, allora non è costruibile.  

Ricordate: tutti i numeri costruibili sono algebrici. Basterà allora far vedere che P non è algebrico, ovvero è trascendente.

A questo problema fu data risposta nel 1882 dal matematico Ferdinando Lindemann, il quale, utilizzando il lavoro di Hermite che aveva dimostrato che il numero e era trascendente, dimostrò che anche 

П è un numero trascendente.

Quindi non si può costruire con riga e con compasso un segmento uguale a П.

Quando i filosofi greci scoprirono che  non è un numero razionale, celebrarono questa scoperta con il sacrificio di cento buoi, una ecatombe! 

Ebbene la scoperta che П è un numero trascendente meriterebbe, si fa per dire, un sacrificio ancora maggiore!