I FRATTALI

                                                         a cura di Paolo Massioni 

                                              L'argomento è tratto dal sito: http://pmassio.altervista.org/)

 

Numeri complessi: nulla di difficile

(NOTA: queste spiegazioni sono per chi non ha molta dimestichezza con la matematica. Gli "esperti" passino pure oltre.)


Cosa sono i numeri complessi? Non fatevi ingannare dal nome: non sono il contrario dei numeri semplici. Per esempio, 1 e 2 sono numeri semplici, ma 4532,45423263 è un numero più complesso. No, non è proprio questo.

Per "numero complesso" si intende un numero composto da una parte reale e da una immaginaria:

Numero Complesso = Parte Reale + Parte Immaginaria

Cos'è la parte reale? Nulla di strano, un numero reale, uno di quei numeri che si incontrano nella vita: 1, 4, oppure 4,5646, o 12,2. Senza tralasciare i numeri negativi (-5,34 o -7,24234). Questi numeri sono quelli che in pratica vengono usati per misurare distanze, contare i soldi, ecc. Se avete difficoltà a pensare i numeri negativi, pensate al bilancio di un'azienda: una attività è un numero positivo, mentre una passività è un numero negativo.

Cos'è la parte immaginaria? Si tratta di un numero "strano", che difficilmente incontrerete nella vita pratica. E' un concetto che deriva dalla volontà di calcolare la radice quadrata di un numero negativo. Ma andiamo con ordine.
Cos'è la radice quadrata? E' l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato:

Dunque: se so che y è il quadrato di x, per ritrovare x da y devo fare l'operazione di radice quadrata.
Tale operazione tuttavia non è sempre possibile. Infatti, elevando un qualsiasi numero al quadrato si ottiene sempre un numero positivo. Provare per credere: se il numero elevato al quadrato è negativo, moltiplicandolo per sé stesso si avrà un numero positivo (meno per meno dà più). Pertanto non esistono numeri che elevati al quadrato diano un risultato negativo: quindi si può estrarre la radice quadrata solo dei numeri positivi. Infatti se uno prova, ad esempio, a fare con la calcolatrice la radice di -4 gli compare un messaggio di errore.

Ma un giorno qualcuno si è svegliato e si è detto: "Cribbio! Non è possibile che noi non si possa fare la radice dei numeri negativi! Adesso ci penso io!" e così decise di inventare i "numeri immaginari".
Tutto parte dall'assunzione (assolutamente arbitraria) che la radice di -1 esista, e sia i.

Questa i è "l'unità immaginaria" e non è paragonabile con nessun altro numero reale (non ha senso, ad esempio, chiedersi se i sia maggiore o minore di 1). L'invenzione di i permette di risolvere le radici quadrate di tutti i numeri negativi: basta infatti scrivere tali numeri come -1 per un numero positivo: del numero positivo la radice si sa fare, di -1 la radice è i; per esempio:

Naturalmente: i al quadrato fa -1.

Il numero complesso è quindi un'entità del tipo:

z = a + bi

dove: a e b sono numeri reali (positivi o negativi), mentre i è l'unità immaginaria. Notate che in questo modo i numeri reali diventano un sottoinsieme dei numeri complessi: quello per cui b = 0.

I numeri complessi si possono trattare come gli altri numeri: si possono sommare e moltiplicare, dividere e sottrarre, si possono elevare a potenza, estrarne le radici. Quello che ora ci interessa in particolare sono la somma di numeri complessi e la moltiplicazione. Esse vengono svolte con le consuete regole del calcolo letterale (tenendo presente che i al quadrato fa -1):

Ciò che caratterizza un numero complesso è quindi la coppia di numeri reali a e b. Viene dunque naturale rappresentare i numeri complessi su di un piano (il celebre piano di Argand-Gauss), dove la a, la parte reale, è segnata sull'asse orizzontale, mentre la parte immaginaria, la b, sta sull'asse verticale.

Sarà su questo piano che disegneremo i frattali.

Un'ultima cosa sui complessi: si definisce una quantità, detta "modulo" ( |z| ), che consiste nella distanza del numero complesso dall'origine degli assi. Come insegna il teorema di Pitagora:

segue: DAI COMPLESSI AI FRATTALI

 

Dai complessi ai frattali

Lasciamo ora temporaneamente da parte i numeri complessi, per percorrere la strada che conduce ai frattali.
Considerate la formula:

Tale formula definisce una successione di numeri; n può assumere tutti i valori interi a partire da 1: x₁ è il primo numero, x₂ il secondo, e così via. Per partire è necessario scegliere un valore di partenza arbitrario, x₀. In pratica quella formula spiega come ricavare una infinità di numeri che sono disposti in un certo ordine, così:

Da dove viene quella formula? E cos'è r?
La formula è una semplificazione di una relazione leggermente più complessa detta "legge di Verhulst"; essa viene usata per calcolare la crescita delle popolazioni che hanno a disposizione una quantità limitata di risorse. La r rappresenta il tasso di crescita cha la popolazione avrebbe se le risorse fossero illimitate (ad esempio: se in media ogni coppia dà alla luce 1 figlio all'anno, r = 0,5 poiché se ogni anno da 2 individui se ne origina un'altro, allora da 1 se ne origina... mezzo).

Quindi: se x₀ è il numero di individui viventi nell'anno 0, nell'anno 1 ci saranno x₁ individui.

Questo modello funziona solo per valori di r minori di 1. Ma a noi interessa proprio quello che succede per i valori di r > 1 anzi, r > 1,9.

Il computer ci può mostrare cosa succede con un grafico. Sull'asse orizzontale disporremo le r, per i valori di compresi fra 1,9 e 3. Sull'asse verticale, le x_n. Ad ogni r è associata una particolare successione di x_n. Ne calcoliamo i primi 500 valori, fino a x₅₀₀, e li buttiamo via. Poi ne calcoliamo altri 200 e li segnamo sul grafico (sulla verticale del valore della r corrispondente).

Cosa immaginate che possa venire fuori? Qualcosa di stupendo:

la curva di Verhulst

All'inizio si ha una linea continua, per valori di r che arrivano fino a 2. Ciò significa che da x₅₀₀ in poi, se 1,9 < r < 2, i valori di x_n sono più o meno tutti uguali. Oltre 2 succede una cosa strana: chissà perché, i valori di x₅₀₀ non sono più costanti ma oscillano fra due alternative. Peggio ancora: da 2,5 in poi, i valori sono 4. Poi diventano 8, poi 16 e poi... bho! Si perde il conto, ma l'immagine che si ha è decisamente affascinante. Più avanti sembra che si ricrei una oscillazione triplice, ma subito ci si perde nuovamente.

(scarica il programma in basic che disegna questa curva)

Questa "curva di Verhulst" è il primo frattale che incontriamo. Ma cos'è un frattale?
Il nome deriverebbe dal fatto che si tratta di "figure a dimensione frazionaria". Cosa significhi questa espressione non lo so, ma sono abbastanza convinto che lo stesso ideatore di questo nome abbia dei dubbi al riguardo. Lasciamo stare dunque i nomi e vediamone le proprietà:
- i frattali sono figure infinitamente complesse: se le si ingrandisce, il "paesaggio" non cambia;
- i frattali sono "autosomiglianti": la parte è simile al tutto;
- (non vale per la curva di Verhulst) i frattali sono superfici finite che hanno un bordo di lunghezza infinita.

Ma vedremo meglio queste cose su altri frattali.

Un matematico francese, tale Benoit Mandelbrot, ebbe l'idea di applicare una versione semplificata di quella formula ai numeri complessi (eccoli!). La formula è:

Ma attenzione! Insisto: questa volta, x_n e c sono numeri complessi, con la loro parte reale e la loro parte immaginaria.

segue: L'INSIEME DI MANDELBROT

L'insieme di Mandelbrot

Cos'è c?
Si tratta di un parametro (complesso!) che può essere scelto a piacere; a seconda di c, avremo risultati diversi.
Come si usa questa formula?
Con un computer, si prende in esame una parte del piano di Argand-Gauss (dove stanno i numeri complessi), per esempio, con la parte reale compresa fra -2,25 e 0,75 e parte immaginaria tra -1,5 e 1,5. Ad ogni punto del piano si può associare la successione definita con quella formula, ponendo x₀ pari al valore del punto del piano.

Tali successioni possono:
- divergere: il modulo di x_n cresce all'infinito all'aumentare di n;
- non divergere: il modulo di x_n si mantiene "piccolo".
(ricordo che il modulo è la "distanza" del punto dall'origine).

Al computer diciamo di colorare di verde scuro i punti per cui la successione non diverge, e di un colore chiaro quelli per cui diverge.
Come c scegliamo x₀:

Cosa potrà venire fuori? Non lo immaginereste mai...

l'insieme di Mandelbrot

Incredibile, ma vero. Tutto viene da quella formuletta là sopra.
Facciamone un (forte) ingrandimento in corrispondenza della "frontiera":

ora si capisce cosa intendevo per "superficie finita con bordo infinito": potreste continuare a zoomare, ma il bordo vi apparirà sempre frastagliato. Se poteste misurarlo, sarebbe infinitamente lungo. E si capisce anche il concetto di "autosomiglianza": ingrandite quanto vi pare, ma le forme sono sempre quelle. Guardate ad esempio: ora zoomiamo su di una di quelle macchioline scure isolate che compaiono in quest'ultima immagine, nei pressi di quelle strutture a "ventaglio":

Sembra proprio simile alla prima immagine! E si potrebbe ingrandire ancora... e il risultato sarebbe lo stesso.

Indubbiamente queste immagini sono molto affascinanti già di per sé, ma per ottenere un buon effetto bisogna utilizzare i colori giusti. Come già detto, in queste immagini il verde scuro indica i punti in cui non si ha divergenza, mentre i colori chiari sono sinonimo di divergenza; le diverse sfumature di verde chiaro dipendono dalla velocità di divergenza.

Un effetto simpatico si può ottenere facendo variare i colori, come avveniva nelle due animazioni che avete visto nella pagina iniziale.

(scarica il programma in basic che disegna questa curva)

segue: GLI INSIEMI DI JULIA

Gli insiemi di Julia

Con lo stesso sistema, proviamo ora a usare valori di c fissati. Otterremo i cosiddetti "insiemi di Julia" (nota: i numeri che darò io sono arbitrari).
Per esempio, c = -1,25. Si tratta di un punto che sta sull'asse reale e che, rispetto all'insieme di Mandelbrot, sta su di una "gemma".

insieme di Julia 1

Facciamone un ingrandimento in corrispondenza della "frontiera":

Ora proviamo con c = 0,27334 + 0,00742i. Si tratta di un punto che, rispetto all'insieme di Mandelbrot, sta sull'attaccatura di una "gemma".

insieme di Julia 2

Questo è così bello che merita due ingrandimenti:

Adesso c = i. Si tratta di un punto del bordo dell'insieme di Mandelbrot.

insieme di Julia 3

Viene fuori una figurina sottile sottile, detta "dendrite". Vediamone un dettaglio (potete ingrandire quanto vi pare, ma non ne vedrete mai lo spessore):

Bene: sia c = 0,12 + 0,74i. Si tratta di un punto esterno all'insieme di Mandelbrot.

insieme di Julia 4

Vengono fuori questi puntini isolati ("polvere di Fatou"), ingrandiamo un po':

Infine: c = 0,54 + 0,59i. Si tratta di un punto dentro il corpo centrale dell'insieme di Mandelbrot.

insieme di Julia 5

Non presenta particolari strutture (ed è anche un po' bruttino), per cui non ve ne popongo ingrandimenti.

(nota: il programma che disegna queste curve è lo stesso che disegna l'insieme di Mandelbrot. Basta cambiare le righe indicate)

segue: NUMERI PIU' CHE COMPLESSI...

Numeri più che complessi: i quaternioni

Un giorno un matematico irlandese, tale William Rowan Hamilton, non soddisfatto dei soli numeri complessi, decise di inventare i "quaternioni"; non bastandogli la sola i, aggiunse altre due unità immaginarie, j e k. Un quaternione assume dunque la forma:

q = a + ib + jc + kd
(dove a, b, c e d sono reali)

Come al solito, elevando al quadrato una qualunque delle tre unità immaginarie si ottiene -1; tuttavia Hamilton capì che se vogliamo i quaternioni, dobbiamo fare a meno della proprietà commutativa; infatti vale che:

 

Iperfrattali

Applicare la formula:

ai quaternioni apre un mare di nuove possibilità. Se prima i numeri complessi avevano due parametri, la parte reale e la parte immaginaria, ora i quaternioni ne hanno ben quattro:

q = a + ib + jc + kd

I numeri complessi potevano essere disegnati su di un piano, un ente bidimensionale. Ma per i quaternioni non basta: ci vorrebbe un'entità a quattro dimensioni. Ma non esiste, su questa terra. Quindi ci accontenteremo di vedere delle "fette" bidimensionali di frattali quadridimensionali. Come si fa ad avere una "fetta" bidimensionale? Nulla di difficile: se i quaternioni hanno quattro parametri, se ne fissano due arbitrariamente e ne restano due variabili: così la figura è piana.

Il salto che stiamo facendo, passando dai frattali dei numeri complessi agli "iperfrattali" è paragonabile a quello di una persona che, abituata a viaggiare sulla superficie della terra, d'un tratto ha la possibilità di viaggiare nello spazio e nel tempo.

Mi sembra giusto far notare che, come i numeri complessi sono un sottoinsieme dei quaternioni, così i frattali che abbiamo visto prima sono un sottoinsieme degli iperfrattali, quando c = a + ib e basta, e quando si guardano "fette" dello spazio quadridimensionale lasciando variabili la parte reale e la parte immaginaria associata ad i.
Essenzialmente dunque ci si aprono due tipi di nuove prospettive:
- possiamo scegliere valori di c ipercomplessi, con più parti immaginarie;
- possiamo prendere "fette" di spazio in cui siano variabili non la parte reale e la parte immaginaria associata ad i, ma gli altri parametri.

Cominciamo ad esplorare la seconda possibilità. Prendiamo un frattale come quelli di prima, c = 0,3742 + 0,3742i. E' uno dei cosiddetti "insiemi di Julia", anche abbastanza bello:

merita un ingrandimento, anche perché qui si vede davvero bene il concetto dell'autosomiglianza: ci sono delle spirali che, ingrandite, si rivelano formate da altre spirali che a loro volta...

Bene. Le immagini sopra erano sul consueto piano di Argand-Gauss, quello delle unità reali (d'ora in poi le chiamerò u per brevità) e delle i, il piano "ui". Questo equivale a dire che abbiamo tagliato una fetta in cui i numeri che moltiplicano la j e la k del quaternione sono zero.

Ora invece tagliamo una "fetta" nel piano "uj". Guardate un po':

L'impressione è quella di avere strutture simili a quelle del frattale nel piano "ui", ma qui, nel piano "uj", sembrano in qualche modo deformate. Zoomiamo nella zona centrale.

Adesso proviamo invece ad usare un valore di c ipercomplesso, per esempio: c = 0,39i + 0,39j + 0,39k. Ecco il risultato:

Come prima, le strutture sembrano più o meno le stesse, ma deformate. Ingrandiamo una di quelle spirali:

In ultimo, vi propongo un c = 0,27334 + 0,00742j:

una forma molto particolare, la ingrandiamo nei pressi della "caverna" centrale:

segue: VARIAZIONI SUL TEMA

 

 

Variazioni sul tema

Uno stesso frattale può essere disegnato in vari modi... nessuno vieta di fare delle variazioni sul tema, anche senza andare troppo sul complicato. Per esempio, si può dare un tocco di tridimensionalità assonometrica ai semplici frattali complessi... con ottimi risultati. Giudicate voi:

L'idea di disegnare i frattali in questo modo mi è stata suggerita da uno dei visitatori del mio sito, il signor Umberto Scardilli, che mi ha inviato alcuni programmi in grado di disegnare frattali di questo tipo (in 16 colori; quelli qui sopra sono a 256 colori). Potete scaricarne uno.

Ma questo è niente rispetto a quello che vedrete più avanti... preparatevi a vedere dei veri iperfrattali 3D!

segue: VERI IPERFRATTALI

 

Veri Iperfrattali

Prendiamo un altro iperfrattale, uno come quelli visti prima; un Julia con c = 0,3 + 0,4 i + 0,4 k. Lo visualizziamo nel piano ui:

Non male neanche lui. Davvero bello. Peccato che sia solo una fetta del vero iperfrattale che è quadridimensionale. Non possiamo disegnare le 4 dimensioni, ma per tre si può fare una assonometria. Si può prendere una fetta tridimensionale nel piano uij e disegnarla. Ed ecco qua:

Ad ogni asse dello spazio è associato un colore, in modo da rendere più facile il capire l'andamento del solido generato. Per chiarire quale effettivamente sia la forma della figura, ho realizzato anche una vista simile a questa dove appaiono soltanto le sezioni bidimensionali:

Potete riconoscere la figura del primo disegno nella sezione orizzontale (ovviamente i colori sono diversi!)

Per altri approfondimenti:

http://web.tiscali.it/pmassio/frattali.htm

Commenti? pmassio@hotmail.com