E’ dato un campo K , ovvero un insieme nel quale siano definite due operazioni + e . tali che

Un esempio di campo può essere l’insieme dei numeri reali R rispetto alle operazioni di somma e prodotto

Sia dato poi un insieme non vuoto V nel quale sia definita un’operazione interna di addizione +tra elementi di V detti vettori e una esterna di moltiplicazione . tra un elemento di K , detto scalare e uno di V (indicheremo i vettori con le lettere minuscole in grassetto) tale che

a,b V a+b V e k K a V k.a V

Si dice che V è uno spazio vettoriale se :

Un esempio di spazio vettoriale può essere quello numerico dato da RR =R² sul campo R oppure RRR=R³ sul campo R e più in generale Rⁿ

Altro esempio di spazio vettoriale sul campo R è quello dei vettori euclidei ,dati dai rappresentanti delle classi di equivalenza secondo la relazione di equipollenza (stessa direzione, stesso modulo e stesso verso)definita nell’insieme dei segmenti orientati

Dato V uno spazio vettoriale su campo K, e U un sottoinsieme di V, si dice che U è un sottospazio vettoriale di V su campo K se sono verificate le seguenti condizioni:

Si dimostra che il vettore nullo di V sarà vettore nullo anche di U e dato un vettore di U, il suo opposto in V sarà l’opposto in U.

Abbiamo quindi visto che gli elementi di uno spazio vettoriale si dicono vettori. Vengono indicati generalmente con le lettere minuscole in grassetto oppure con i seguenti simboli: a

Particolari vettori sono quelli numerici dati da n-ple ordinate di numeri reali e cioè gli elementi dello spazio vettoriale Rⁿ. In particolare le coppie ordinate, del tipo a=(a_1,a₂), elementi di R², identificabili con i punti del piano in cui è dato un riferimento cartesiano, e le terne a=(a₁,a₂,a₃), elementi di R³ , identificabili con i punti dello spazio in cui è dato un riferimento cartesiano.

Tra questi vettori sono definite le operazioni di somma interna e di prodotto esterno come segue:

Sia B= a₁,….,a_n un sistema di vettori non nullo di V, un’espressione del tipo

l ₁.a₁₊ l ₂.a_{2+….+l n}.a_n (1)

mediante gli scalari l ₁, l _2,…., l _n si dice combinazione lineare dei vettori di B mediante gli scalari l ₁, l _2,…., l _n e sarà un vettore v di V, per definizione di spazio vettoriale. In tal caso diremo che il vettore v dipende linearmente da a₁,….,a_{n .} Se in particolare scegliamo gli scalari suddetti tutti nulli allora la combinazione lineare (1) darà il vettore nullo.

Si dice che un sistema di vettori è linearmente dipendente se è possibile ottenere il vettore nullo come combinazione lineare degli n vettori di B, utilizzando scalari non tutti nulli

Viceversa se utilizzando i vettori di B, l’unico modo di ottenere una combinazione lineare nulla è mediante una n-pla di scalari tutti nulli allora il sistema B è detto sistema di vettori linearmente indipendenti.

Valgono le seguenti proprietà:

La prima proprietà è ovvia

Per dimostrare la seconda basta considerare che se il sistema è linearmente dipendente, allora esiste almeno una n-pla di scalari (l ₁, l _2,…., l _n ) non tutta nulla mediante la quale è possibile avere una combinazione lineare dei vettori di B che dia il vettore nullo, cioè l ₁.a₁₊ l ₂.a_{2+….+l n}.a_n=0 supposto che sia l ₁0 possiamo dividere tutto per l ₁ e risolvere in a₁, così avremo

a₁ = -l ₂.a₂ -_….-l _n.a_n

l _{1 l 1}

cioè a₁ dipenderà dai rimanenti. Così pure il viceversa

Per dimostrare la terza consideriamo ad esempio i vettori a₁,a_2,a₃ con a₁=a₂

e la combinazione lineare l ₁.a₁₊ l ₂.a_{2+l 3}.a₃ che per quanto detto equivale a

(l _{1+l 2}).a_{2+l 3}.a₃ Se i tre vettori costituissero un sistema linearmente indipendente allora anche solo a₂ e a₃ sarebbero indipendenti e quindi sarebbe (l _{1+l 2})=0 e l ₃=0 cioè l ₁= -l ₂ con l ₂ qualsiasi, allora i tre vettori di partenza sono dipendenti.

Allo stesso modo si dimostra la quarta proposizione

Sia B= a₁,….,a_kun sistema di vettori di V.

allora B è detto sistema di generatori di V e si dice che lo spazio vettoriale V è finitamente generabile. Può però capitare che per generare V non siano necessari tutti i k vettori contenuti in B ma ne bastino solo n (n<k).

Si definisce base di uno spazio vettoriale finitamente generabile, il più piccolo sistema di generatori di V.

Una base è costituita da vettori linearmente indipendenti, infatti se fossero linearmente dipendenti, sarebbe possibile esprimerne uno di essi come combinazione lineare dei rimanenti e quindi avremmo trovato un sistema di generatori più piccolo e ciò è assurdo per definizione di base.

Ma allora possiamo definire una base anche in altro modo, e cioè come il massimo sistema di vettori linearmente indipendenti di V, infatti se esistesse in V un altro vettore linearmente indipendente con quelli di B, in quanto vettore di V sarebbe generato dai vettori della base B e ciò sarebbe assurdo in quanto se un vettore dipende linearmente da altri, non può costituire con essi in sistema linearmente indipendente.

Una base in V non è univocamente determinata, ma è unico il numero di vettori che la costituiscono, per quanto detto. Tale numero prende il nome di dimensione di uno spazio vettoriale

Data B= a₁,….,a_n una base di V di dimensione n ,allora esiste una n-pla ( l ₁, l _2,…., l _n ) / v=l ₁.a₁₊ l ₂.a_{2+….+l n}.a_n e tale n-pla è univocamente determinata. Infatti se esistesse un’altra n-pla (a ₁, a ₂,….,a _n) distinta dall’altra e cioè tale che esiste almeno un indice i tale che a _{il i} si avrebbe v=l ₁.a₁₊ l ₂.a_{2+….+l n}.a_n =a ₁.a₁₊ a ₂.a₂+….+a _n.a_n e quindi

(l ₁-a ₁).a₁+(l ₂-a ₂).a₂+…..+(l _n-a _n).a_n=0 e per quanto detto esiste almeno un indice i tale che (l _i-a _i)0 e cioè B sarebbe un sistema di vettori linearmente dipendente, e ciò è assurdo perché B è una base.

Per tale motivo fissata una base esiste una corrispondenza biunivoca tra V e il campo Kⁿ. D’ora in avanti per semplicità considereremo come campo R, il campo dei numeri reali e quindi possiamo dire che esiste una corrispondenza biunivoca tra V e Rⁿ, in quanto il vettore numerico ( l ₁, l _2,…., l _n ) / v=l ₁.a₁₊ l ₂.a_{2+….+l n}.a_n per quanto prima detto è unico.

Tale n-pla è detta vettore numerico delle componenti di v rispetto alla base B.

Grazie all’identificazione di v con le sue componenti, tutte le operazioni tra vettori si effettuano mediante operazioni tra i vettori numerici delle componenti e quindi se è a=(a₁,…,a_n) e b=(b₁,…..,b_n) sono così definite le seguenti operazioni:

a+b=(a₁+b₁,….,a_n+b_n) somma tra vettori

k . a=(ka₁,…..,ka_n) prodotto di uno scalare e di un vettore

a . b =a₁b₁+a₂b₂+…..+a_nb_n prodotto scalare tra due vettori

= norma o modulo di un vettore

N.B. risulta ² = a . a

Dati a=(1, 2, -3) e b = (3, -1, 4) sarà

a+b=(4, 1, 1) a - b=(-2, 3, -7) 2.a=(2, 4, -6) a.b=3-2-12=-11

==

Dati i vettori euclidei a e b come base possiamo scegliere i versori i e j di un riferimento cartesiano. Allora scomponendo il vettore a lungo gli assi x e y otterremo le proiezioni a_x e a_y detti vettori componenti, i quali risultano essere multipli dei versori i e j mediante gli scalari a_x e a_y per cui risulta a= a_x.i+a_y.j

e quindi fissata in R² la base B=(i,j), la coppia delle componenti di a risulta (a_x,a_y)

Esempio 3

Dato il vettore numerico a=(2,1,0) R³ e una base B di R³ data da

B=(1,0,2); (-2,0,0); (0,1;1) troviamo le componenti di a in questa base:

dovrà essere a= x (1,0,2)+ y (-2,0,0) +z (0,1,1) e quindi

a= (x, 0, 2x)+(-2y ,0, 0) + (0, z, z)

a =( x-2y, z, 2x+z) e confrontando tale espressione con

a= (2, 1, 0) si avrà da cui x=-1/2; y=-5/4 ; z=1

Dati due vettori a e b di V se essi sono tali che a . b=0 i vettori si dicono ortogonali

Esempio:consideriamo in particolare due vettori euclidei aventi direzioni perpendicolari, ad esempio, uno lungo l’asse x e l’altro lungo l’asse y , allora le componenti di detti vettori saranno del tipo (h, 0) per quello parallelo all’ asse x e (0, k ) per quello parallelo all’asse y.

Il loro prodotto scalare sarà h.0+0.k=0 cioè i due vettori risultano ortogonali, allora il concetto euclideo di ortogonalità rientra in quello vettoriale

Data una base B dello spazio vettoriale V, si dice che B è una base ortogonale se i vettori che la costituiscono sono a due a due ortogonali.

Data invece una base B costituita da vettori di norma unitaria, si dice che B è una base normale .

Se i vettori di una base B oltre ad essere normali, sono pure ortogonali, allora la base si dice ortonormale.

È sempre possibile normalizzare una base, basta dividere ciascun vettore per la sua norma; analogamente è possibile ortogonalizzare una base ( e quindi successivamente ortonormalizzarla) mediante il seguente procedimento

data una base B=a_1,a_2,…,a_n a partire da essa si può costruire una base B’=b_1,b_2,…,b_n ortogonale così fatta:

Consideriamo ora lo spazio vettoriale numerico Rⁿ e la seguente base:

B=(1,0,…,0), (0,1,….,0),…., (0,0,….,0,1)

Cioè tale che il generico vettore e_i ha tutte le componenti nulle, tranne la i-sima, i=1,…,n

Tale base è detta canonica o naturale

E’ facile vedere che la base canonica è ortonormale.

Si definisce matrice di tipo [m,n] su campo K una tabella a doppia entrata costituita da m righe ed n colonne dove il generico elemento a_ij K appartiene alla i-sima riga e j-sima colonna. Per semplicità considereremo matrici numeriche, cioè su campo R.

Es. A= è una matrice di tipo [2,3]

Una matrice si dice quadrata se m=n, cioè ha lo stesso numero di righe e di colonne

Si definisce in tal caso diagonale principale la diagonale costituita dagli elementi a_ii con i=1,…,n

Si dice matrice nulla una matrice con tutti gli elementi nulli

Una matrice si dice simmetrica se a_ij=a_ji

Se scambiano le righe con le colonne otteniamo la matrice trasposta A^t

Le colonne e le righe di una matrice possono essere viste come vettori numerici, infatti si parla di vettore riga a_i e di vettore colonna a^j

Viceversa un vettore numerico di ordine n può essere visto come una matrice di tipo [1,n]

Si definisce rango di una matrice A, e si indica rg A, il massimo numero di righe o di colonne linearmente indipendenti. Valgono le seguenti proprietà:

Il rango di una matrice di tipo [m,n] è massimo se rg A= m oppure rg A =n

Tra matrici sono possibili le seguenti operazioni:

Ad ogni matrice quadrata A è associato un numero detto determinante ed indicato con . Esso è dato dalla somma di tutti i possibili prodotti del tipo

e _p a_1p(1) .a_2p(2)……a_np(n) (*)

dove p(1), p(2),…..,p(n) sono gli indici di colonna scambiati tra di loro (permutazioni)

e e _p vale 1 o -1 a seconda se il numero di permutazioni effettuate rispetto all’ordine naturale 1,2,….,n, è pari o dispari

Es.: considero il prodotto a₁₂ . a₂₃ . a₃₁

Gli indici di colonna hanno quindi subito la seguente permutazione

2 3 e 31 cioè due permutazioni e allora e =1

Calcoliamo ora il determinante di una matrice del secondo tipo:

data A= =e ₁ a_{11 .} a₂₂ + e ₂ a₁₂ . a₂₁

con e ₁ =1 e e ₂= -1 in quanto nel primo prodotto non c’è stata permutazione e nel secondo solo una . Allora sarà = a_{11 .} a₂₂ - a₁₂ . a₂₁

cioè il determinante di una matrice quadrato del secondo tipo è dato dal prodotto degli elementi della diagonale principale meno quello degli elementi della diagonale secondaria.

Procedendo allo stesso modo si trova la regola di Sarrus per le matrici quadrate del terzo ordine:si sommano i prodotti degli elementi della diagonale principale con quelli ottenuti dagli elementi vertici di triangoli con la base parallela alla diagonale principale (fig. 1) ; a questi si sottraggono i prodotti degli elementi della diagonale secondaria e quelli ottenuti moltiplicando i vertici di triangoli con la base parallela alla diagonale secondaria (fig. 2):

(1) (2)

Dalla definizione di determinante risultano le seguenti proprietà:

Data una matrice A si definisce matrice subordinata secondo le righe i₁,….,i_q e le colonne j₁,…..,j_q la matrice i cui elementi sono solo quelli appartenenti alle righe e alle colonne suddette.

Es. data A =

Si definisce minore della matrice A determinato dalle righe i_1,….,i_q e dalle colonne j₁,…,j_q

Il determinante della matrice subordinata secondo le righe e le colonne suddette.

Si definisce minore complementare il minore costituito dalla righe e dalle colonne diverse da i_1,….,i_q e j₁,…,j_q .

Si definisce complemento algebrico della matrice subordinata costituita dalle righe i_1,….,i_q e dalle colonne j₁,…,j_q il minore complementare di tale matrice preso con il suo segno se la somma degli indici di riga e di colonna i₁+i₂+….+i_q + j₁+…+j_q è pari, col segno opposto se tale somma è dispari.

In particolare possiamo parlare di complemento algebrico dell’elemento a_ij considerando tale elemento come matrice subordinata del primo tipo secondo la i-sima riga e j-sima colonna.

Es. data A =

il suo minore secondo le righe 2 e 3 e le colonne 1 e 4 sarà il determinante della matrice

A’= e cioè 3

Il suo minore complementare sarà il determinante della matrice subordinata secondo le rimanenti righe e colonne e cioè

A’’= il cui determinante vale 25

Il suo complemento algebrico secondo le righe 2 e 3 e le colonne 1 e 4 sarà +25 perché

2+3+1+4=10 (pari)

Dal primo teorema ricaviamo la regola per il calcolo di un determinante di ordine superiore a tre.

Es. calcoliamo un determinante del terzo ordine secondo lo sviluppo di Laplace:

= 1. - 2. + 1. = 1.(-2 + 4) – 2.(-4 - 0) +1. (-2 - 0)=

= 1 . 2 – 2 . (-4) +1 . (-2) = 2+8 -2 = 8

Data una matrice quadrata A si definisce matrice inversa di A una matrice A^-1 tale che

cioè rispetto all’operazione di moltiplicazione tra matrici, la matrice inversa è l’inverso di A rispetto all’elemento neutro per la moltiplicazione.

per la definizione di prodotto tra matrici.

Poiché tra le proprietà dei determinanti abbiamo che il determinante di un prodotto di due matrici quadrate è uguale al prodotto dei determinanti delle due matrici, e poiché è 0 allora anche e 0

Sia A una matrice quadrata invertibile, cioè tale che il suo determinante sia non nullo.

Per calcolare la sua inversa si potrebbe applicare la definizione di prodotto matriciale per poi confrontare il risultato con la matrice identica.

Risulta però più agevole applicare il seguente metodo di Gauss:

data la matrice A con la matrice inversa A^-1sarà la matrice

A^-1=

Dove A_ij è l’elemento della matrice aggiunta, cioè della trasposta della matrice A’ che ha come elementi i complementi algebrici della matrice A

Es. data A= la matrice dei complementi algebrici sarà

A^’= , e quella aggiunta

essendo =5 sarà

A^-1=

Data una matrice A di tipo [m,n] si dice orlato del minore A⁽ⁱ₁^,…,i_h^{; j}₁^,…..,j_h⁾ di ordine h (con h<n e h<m), mediante la riga a_i e la colonna a^j il minore di A ottenuto considerando le righe a_1,…,a_h,a_i e le colonne a¹,….,a^h,a^j

Il teorema degli orlati afferma che se abbiamo un minore non nullo e comunque lo si orli si ottengono minori tutti nulli, allora le righe e le colonne che costituiscono il minore non nullo sono sistemi massimi di vettori linearmente indipendenti.

Per tale teorema possiamo allora dire che se il rango di A = r (cioè il massimo sistema di vettori linearmente indipendente è di ordine r) ogni minore di ordine maggiore di r è nullo.

Si dice minore fondamentale di A è un qualsiasi minore non nullo di ordine r.

Per calcolare il rango di una matrice basta allora trovare un minore non nullo di ordine massimo.

Es. data A=

essendo di tipo [3,4] al massimo potrà avere rango 3. Se avesse rango 3 dovrebbe esserci almeno un minore di ordine 3 non nullo. Andiamo a cercare tale minore

= - 4 0 allora il rango di A è 3.

Alla luce di quanto detto nei paragrafi precedenti, per stabilire se k vettori numerici sono indipendenti si può costruire una matrice avente tali vettori come righe o come colonne. Il sistema di vettori considerato sarà linearmente indipendente se e solo se il rango della matrice così costruita sarà massimo.

Sia

un sistema lineare di m equazioni in n incognite. Si dice soluzione del sistema il vettore numerico (x ₁,x ₂,….,x _n) di ordine n che soddisfa tutte le equazioni del sistema lineare.

Se un sistema ammette soluzioni si dice che è compatibile

Ad un sistema lineare sono associate due matrici, la matrice dei coefficienti, che ha come colonne i vettori numerici di ordine m costituiti ciascuno dai coefficienti della prima , seconda ,ecc . incognita del sistema, e la matrice completa A* che in aggiunta alla prima ha la colonna dei termini noti, cioè

A= e A*=

Due sistemi si dicono equivalenti se le equazioni dell’uno dipenderanno linearmente dalle equazioni dell’altro.

Due sistemi equivalenti ammettono le stesse soluzioni

Se tutte le equazioni che costituiscono un sistema sono indipendenti tra di loro, allora il sistema si dice ridotto.

Se un sistema è ridotto e compatibile allora si dice normale

Considerato il vettore colonna X= delle incognite e il vettore colonna C= dei termini noti, detta A la matrice dei coefficienti, allora il sistema di m equazioni in n incognite equivale alla seguente equazione matriciale: A.X=C

Il teorema di Rouchè-Capelli, afferma che un sistema è compatibile se e solo se i ranghi delle due matrici associate al sistema (quella dei coefficienti e quella completa) coincidono.

Tale teorema è completato dai teorema di unicità :

In pratica il secondo teorema di unicità afferma che in tali ipotesi bisogna considerare come termini noti le n-p incognite con indice diverso da quelli delle colonne indipendenti. In tal caso poiché per ciascuna delle n-p incognite possiamo fissare valori, allora si dice pure che il sistema ammette soluzioni

Es.1) dato il sistema sarà A= e A*= sarà 0 e quindi rgA=3. Poiché A* è di tipo [3,4] allora sarà sarà il massimo minore non nullo che troviamo in A* e quindi

rgA=rgA*=3=numero delle incognite

quindi la soluzione sarà unica.

Es. 2) dato il sistema sarà A= e

A*=

Poiché risulta = -19 allora sarà rg A=2 =rgA* in quanto tale minore lo troviamo anche in A* e non potremmo trovare un minore di ordine superiore. Allora il sistema è compatibile e poiché le colonne indipendenti che costituiscono tale minore sono quelle dei coefficienti x e y , fissato un valore per z , ad esempio x sarà unica la soluzione del sistema nelle incognite x e y.

Può capitare che rg A= rgA* =h con h<n e h<m, allora si considera il sistema equivalente ridotto costituito dalle sole equazioni indipendenti e ci rifacciamo al secondo teorema di unicità.

Supponiamo di avere

un sistema compatibile di n equazioni in n incognite . Allora sarà rgA=rgA*.

Se è rgA=rgA*=h con h< n ci si rifà a quanto detto al paragrafo precedente e cioè ridotto il sistema e fissate le n-h incognite opportune, la soluzione per il nuovo sistema equivalente di h equazioni in h incognite è unica.

Consideriamo allora il caso in cui il rango è massimo. In tal caso sarà 0. vale allora il teorema di Cramer secondo cui la n-pla delle soluzione è data da (l ₁,l ₂,..,l _n) con l _i = dove A_i è la matrice ottenuta sostituendo nella matrice A al posto della i-sima colonna la colonna dei termini noti c=

Es. sarà A=

ed è facile provare che il suo rango è 3, allora in quento è il rango massimo, il sistema è compatibile . Calcoliamo le soluzioni secondo il teorema di Cramer:

x= == - y=== -10

z===

Se invece abbiamo il sistema (1) è facile vedere che rgA=rgA*=2

E il minore non nullo è dato da per cui il sistema (1) sarà equivalente al sistema ridotto e quindi fissata l’incognita z=x applichiamo Cramer al sistema

Se le equazioni che costituiscono il sistema sono omogenee, cioè la colonna dei termini noti è data dal vettore nullo, il sistema si dice omogeneo.

In tale sistema quindi, la matrice completa ha in più rispetto a quella dei coefficienti una colonna tutta nulla, per cui i ranghi delle due matrici coincidono e quindi per il teorema di Rouchè – Capelli, un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile.

Ammetterà sicuramente come soluzione il vettore numerico nullo e tale soluzione risulta unica se il rango è massimo.

Se il rango non è massimo, bisogna individuare il massimo minore non nullo e si procede come per un sistema lineare non omogeneo.

A differenza di un sistema lineare , dove le soluzioni sono un sottoinsieme di Rⁿ, se R è il campo su cui è dato il sistema, in un sistema lineare omogeneo le soluzioni costituiscono un sottospazio di Rⁿ la cui dimensione è data da n-p con p rango della matrice A .Si dice anche che il sistema lineare omogeneo ammette soluzioni.

Sia dato un sistema lineare di n equazioni in n incognite. Se il sistema è compatibile la soluzione può essere determinata oltre che con Cramer, anche con il metodo di Gauss o delle successive eliminazioni.

Sia il sistema dato.

Supposto che sia a₁₁0 dividiamo tutti i coefficienti della prima equazione per a₁₁ ottenendo x₁+b₁₂x₂+……+b_1n=b₁ e risolvendo rispetto a x₁ e sostituendo nell altre equazioni troveremo e procedendo analogamente sulla seconda equazione dividendo per b₂₂ e così di seguito, si arriverà al seguente sistema:

Sia data una matrice quadrata A di ordine n e un vettore numerico riga v Rⁿ . E’ possibile eseguire il seguente prodotto matriciale v . A ed il risultato sarà un vettore riga w Rⁿ .

(v₁,v₂,…,v_n) . = (w₁,w₂,….,,,,w_n)

Un vettore v non nullo per cui si ha che A.v= l v si dice autovettore per la matrice A e lo scalare l per cui si ottiene ciò è detto autovalore corrispondente all’autovettore v

Ad un autovettore è associato un unico autovalore, mentre ad un autovalore possono essere associati più autovettori,

Si dice autospazio Vl relativo all’autovalore l l’insieme costituito degli autovettori v di autovalore l e dal vettore nullo. Vl è un sottospazio vettoriale di Rⁿ .

La dimensione di tale autospazio è detta molteplicità geometrica dell’autovalore l .

Per trovare gli autovalori di una matrice quadrata basta risolvere l’equazione caratteristica data da = 0.

Infatti se l è autovalore per A allora è soluzione del polinomio caratteristico , infatti se è autovalore di A risulta

A.v=l v (1)

= 0.

E’ ovvio che il polinomio caratteristico ha grado n per cui al massimo possiamo trovare n autovalori di A.

La molteplicità di l come radice del polinomio caratteristico e cioè il massimo intero m tale che (l -l ) ^m divide il polinomio caratteristico, è detta molteplicità algebrica di l e si indica con m_a(l )

Vale la seguente relazione: 0 < m_g(l ) < m_a ( l )

Es: data la matrice A= trovare autovalori ed autovettori relativi.

= 0.

Troveremo i due autovalori l ₁= 1 e l ₂= 3

che ammetterà come soluzione x= e y=0

per cui il generico vettore sarà v=(; 0) = k (1,0) essendo la scelta di arbitraria.

Una matrice quadrata A di tipo n si dice diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale D, cioè se esiste una matrice invertibile P tale che D=P^-1 A P

P è la matrice che diagonalizza A

Si dimostra che A è diagonalizzabile se e solo se il polinomio caratteristico =0 ha tutte le radici in R e la molteplicità algebrica di ciascun autovalore coincide con quella geometrica.

È chiaro che se A ammette n autovalori distinti e cioè hanno ciascuno molteplicità algebrica 1, per la relazione che esiste tra le molteplicità saranno anche le molteplicità geometriche uguali ad 1 per cui per il teorema suddetto A è diagonalizzabile.

La matrice D diagonale simile ad A avrà sulla diagonale tutti gli autovalori, la matrice P che diagonalizza A avrà come colone i vettori costituenti le basi degli autospazi.

Si dice che A è ortogonalmente diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale D e la matrice che la diagonalizzza è ortogonale.

Si dimostra che ciò è possibile se e solo se la matrice A è simmetrica. In tal caso D avrà sempre sulla diagonale principale gli autovalori mentre P avrà come colonne i vettori di basi ortonormali degli autospazi.

Sia data una funzione di R² in R² che ad un punto P del piano di coordinate (x,y) associa sempre un punto del piano P’ di coordinate (X,Y).per tale motivo una tale funzione è detta trasformazione del piano in se . la legge secondo la quale al punto P e associato il punto P’ può essere espressa dal sistema lineare

(*) per questo la trasformazione è detta lineare.

Ad essa rimane associata la matrice A = e quindi il sistema suddetto può anche scriversi in forma matriciale

= . +

S definisce affinità qualsiasi trasformazione lineare del piano in sé determinata da una matrice A l cui determinante sia diverso da zero. In tal caso il sistema (*) è detto sistema delle equazioni cartesiane di un’affinità

Risolvendo il sistema in x e y è possibile osì definire la trasformazione inversa, cioè quella che associa P al punto P’:

T : P P’ affinità

T^-1: P’ P trasformazione inversa

Per trovare i punti uniti di un’affinità (ovvero un punto il cui trasformato coincide con sé stesso), basta sostituire nelle equazioni dell’affinità x al posto di X e y al posto di Y e risolvere il sistema in x e y .

Es.: data l’affinità (a) troviamo i punti uniti

e risolvendo troveremo P=(5; -2) come punto unito.

Se invece vogliamo trovare le rette unite di un’affinità T prima dobbiamo trovare l’affinità inversa T^-1 e la si applica ad una qualsiasi retta r di equazione ax+by+c=0. La trasformata dovrà coincidere con r, per cui il rapporto tra i coefficienti omologhi dovrà essere uguale . Se il sistema così costituito darà soluzioni, allora avremo trovato i valori di a, b e c che danno le rette unite.

Es.: data l’affinità (a) suddetta, la sua inversa sarà (b)

Allora trasformiamo una generica retta ax+by+c=0 e otterremo

(a - b) X+(a - 2)Y+2a – b +c=0 e tale retta coincide con quella di partenza se e solo se

nasce così il sistema

dalle cui eventuali soluzioni troveremo le rette unite.

In particolare un’affinità che ha l’origine degli assi cartesiani come punto unito, ha le seguenti equazioni:

Le principali proprietà di un’ affinità sono le seguenti:

a)Un’affinità conserva l’allineamento dei punti, per cui muta rette in rette, rette incidenti in rette incidenti e rette parallele in rette parallele

b)in genere un ‘affinità non muta una retta in una ad essa parallela

c) un’affinità non conserva gli angoli.

d) se due segmenti AB e CD sono paralleli e il loro rapporto è k , allora i segmenti paralleli corrispondenti a questi in una affinità A’B’ e C’D’ avranno come rapporto ancora k. Ciò non vale se i segmenti AB e CD non sono paralleli.

e) si conserva il rapporto tra aree di figure corrispondenti cioè

S(A’B’C’)= S(ABC) dove h = con A matrice associata all’affinità.

Se h> 0 l’affinità si dice diretta, viceversa si dirà inversa.

Se consideriamo una trasformazione che ha come punto fisso l’origine degli assi e cioè

T= con A= e 0

Può capitare che trasformando un vettore v questo si muti in uno ad esso parallelo, cioè T( v ) = k. v In tal caso il vettore si dirà autovettore e il numero k viene detto autovalore o rapporto di stiramento.

Per trovare gli autovalori di un’affinità si devono quindi trovare gli autovalori della matrice associata A dopodiché per ciascun autovalore trovato è possibile trovare la retta unita ed il suo coefficiente angolare darà la direzione invariante

Es.: data la trasformazione trovare le direzioni invarianti.

Bisogna trovare prima gli autovalori di A= risolvendo l’equazione caratteristica data da =0 da cui verrà l ₁=4 e l ₂= -1

Per trovare la direzione invariante, cioè l’autovettore, basta risolvere il sistema dato dall’equazione matriciale

per i vari autovalori trovati ed allora per l ₁=4 avremo

per cui la retta unita sarà x=3y e la direzione invariante (cioè l’autovettore) per tale autovalore sarà data dal coefficiente angolare m=3

Allo stesso modo si procede per l’altro autovalore trovato.

Se l’equazione matriciale (*) dà luogo ad un sistema impossibile, vorrà dire che non esistono direzioni invarianti.

Si definisce similitudine una qualsiasi trasformazione affine che mantiene costante il rapporto tra un segmento PQ e il suo trasformato P’Q’ , qualunque sia PQ.

Quindi = k (1) il numero reale k si dice rapporto di similitudine.

Ricordando che le equazioni di un’affinità sono

applicando la (1) si avrà che un’affinità è una similitudine se e solo se a₁₁=+ a₂₂ e a₁₂= a₂₁ e quindi risulterà k=

allora potremmo avere due possibilità:

a) a₁₁= a₂₂ e a₁₂= - a₂₁ per cui l’equazioni di similitudine diventano

e allora la matrice A sarà tale che =k²

b) a₁₁= -a₂₂ e a₁₂= a₂₁ per cui l’equazioni di similitudine diventano

e allora la matrice A sarà tale che = -k²

una similitudine che ha il determinante della trasformazione positivo si dice diretta, altrimenti indiretta per tanto il caso a) è quello di una similitudine diretta e il caso b) di similitudine indiretta.

Il rapporto di similitudine k= è il rapporto che esiste tra segmenti corrispondenti, ma anche il rapporto che esiste tra perimetri di figure corrispondenti. Passando alle aree possiamo invece dire che =k²

Supponiamo di avere una similitudine diretta che fissi l’origine degli assi allora le sue equazioni saranno

se è dato un triangolo ABO con A=(s,0); B=(0,t) e O=(0,0) siano A’=( as, - bt)

B’=(bt, at) O’=(0,0) i trasformati di A, B, C nella similitudine considerata . Il triangolo ABC si trasformerà nel triangolo A’B’C’.

Se k è il rapporto di similitudine allora partendo da ABC possiamo ingrandire il triangolo dato di un fattore k, cioè ingrandiamo i segmenti OA e OB di un fattore k, ottenendo così il triangolo A"B"C". se la similitudine è diretta allora esisterà una rotazione di ampiezza che porti il triangolo A"B"C" su A’B’C’.

Quindi una similitudine diretta è il prodotto di una dilatazione se è k>0 (o contrazione se k<0) e di una rotazione.

Se la similitudine è inversa , cioè <0 , una volta ottenuto il triangolo A"B"C", non esiste una rotazione che lo porta su A’B’C’, ma è necessario :

a)una simmetria rispetto all’asse x che porti A"B"C" su A’’’B’’’C’’’

b) una rotazione che porti A’’’B’’’C’’’ su A’B’C’

Si definisce omotetia una trasformazione del piano tale che fissato un punto C(a,b) (detto centro dell’omotetia), ad un punto P(x,y) associa in punto P’(X,Y) , allineato con P e C tale che P’C=k .PC

Se k>0 allora P e P’ appartengono alla stessa semiretta di centro C, altrimenti a semirette opposte di centro C.

Si ricavano così le equazioni cartesiane di un’omotetia:

da cui (1) con

per cui il centro dell’omotetia ha coordinate C=

dalla (1) possiamo ricavare quindi la seguente definizione di omotetia:

L’omotetia è una trasformazione affine che ha come matrice A una matrice diagonale con gli elementi della diagonale tutti uguali tra di loro:

Se è k>0 l’omotetia si dirà diretta, altrimenti indiretta.

E’ ovvio che l’omotetia è una particolare similitudine con b=0

Se il centro dell’omotetia è l’origine allora le equazioni diventano

Possiamo quindi dire che

a)un’omotetia conserva la forma delle figure ma non l’estensione

b)il rapporto tra i perimetri di figure corrispondenti è uguale in valore assoluto al rapporto di omotetia

c) il rapporto tra le superfici di figure corrispondenti è uguale al quadrato del rapporto di omotetia

d) il centro dell’omotetia è punto unito per l’omotetia,

e)qualsiasi retta che passa per il centro dell’omotetia è unita

f)qualsiasi retta non passante per il centro dell’omotetia la trasforma in una ad essa parallela

L’isometria è una qualsiasi trasformazione del piano in sé che conserva le distanze cioè dati P e Q e P’ e Q’ i loro corrispondenti sarà

d(PQ)=d(P’Q’)

Possiamo allora dire che un’isometria è una particolare similitudine con k==1

Si parla di isometria diretta se >0 e in tal caso si conserva l’orientamento delle figure e di isometria indiretta se <0 che non conserva l’orientamento delle figure.

E’ ovvio che due figure che si corrispondono in un isometria sono uguali

a=(1,2,0) b=(0 ,1, 1) c=(0,0,0,) d=(2,4,0) e=(2,5,1) f=(1,0,0)

trovare in esso una base e rispetto a questa trovare le componenti del vettore v=(12,8,-6)

a) b) c) d)

e in tutti i quattro casi calcolare l’area del trasformato del triangolo di vertici O=(0,0), A=(4;0) , B=( 0;7)