1) Proprietà generali

Un insieme ordinato di numeri dicesi progressione geometrica se si ha : [1]

con q quantità costante diversa da 1 detta ragione o quoziente .

Una progressione geometrica di ragione q si indica col simbolo G(q) e si scrive :

G(q) limitata nei due sensi

G(q) illimitata nei due sensi

G(q) illimitata in un senso

Se gli elementi di una G(q) sono reali e la ragione è positiva , la progressione si dice crescente se risulta , decrescente se risulta .

Se invece è la progressione geometrica dicesi alternata .

2) Proprietà delle progressioni geometriche

· [1] ¯ [2]

· Relazione tra due termini qualsiasi [3]

· Prodotto di due termini coniugati

Due termini di una progressione geometrica di n termini si dicono coniugati o simmetrici quando la somma dei loro indici è n + 1 . [4]

Se la progressione geometrica è limitata ed ha un numero dispari di termini , quello centrale è coniugato di se stesso , per cui la [4] diventa : [5]

· Prodotto di n termini consecutivi [6]

· Somma di n termini consecutivi di una progressione geometrica

se [7]

se [8]

· Somma dei termini di una progressione geometrica illimitata

[9] se cioè se :

Dicesi successione di numeri reali o successione numerica una funzione ƒ di N in R [ oppure di in R ] . In simboli matematici abbiamo :

<< Una successione numerica è una funzione ƒ che ad ogni associa una immagine >>

Una successione è una funzione il cui dominio è l ' insieme N ed il cui codominio è un sottoinsieme di R .

Si dice anche che una successione è una funzione definita in N ed a valori in R .

Gli elementi del codominio della successione , che sono le immagini della funzione ƒ , si dicono i termini della successione .

Per le successioni , la variabile indipendente viene indicata col simbolo , e l'immagine col simbolo [ o con x_n o con y_n ] .

Una successione si indica con uno dei seguenti simboli : , ,

Dare una successione significa assegnare una legge ƒ di natura qualsivoglia in base alla quale ad ogni numero naturale n corrisponda un solo numero reale :

sono i termini o gli elementi della successione , dicesi termine generale della successione . Due o più termini di una stessa successione , pur occupando posti diversi , possono essere uguali . Una successione può essere individuata mediante il termine generale o per ricorrenza . Nel primo caso il termine è individuato da una formula ( ad esempio ) , nel secondo caso si assegna il valore del primo termine a₁ e si indica la legge che fa passare da un termine al successivo . Una successione presenta un solo punto di accumulazione che è ( o ) . Una successione non presenta punti di accumulazione al finito .Una successione si dice limitata superiormente , inferiormente , limitata se tale è il suo codominio .

= estremo superiore di , = estremo inferiore di

Se la successione non è limitata superiormente ( inferiormente ) si scrive :

( )

e si dice che la successione è illimitata superiormente ( inferiormente ) .

¯ ¯ ¯ Esempi di successioni il cui termine generale è espresso mediante una formula matematica

, ,

, ,

, ,

, ,

,

I valori dipendono dall'operatore ƒ che trasforma gli elementi di N in ben determinati elementi di R che costituiscono il codominio di ƒ . Per ricordare ciò scriviamo : con

Solo in casi particolari l ' ordinamento naturale di N ( ossia la relazione d'ordine espressa dal simbolo ) è trasferito da ƒ a tutti i corrispondenti elementi del codominio di ƒ .

In questo caso la successione è strettamente crescente ( decrescente ) se :

[ ]

è semplicemente crescente [decrescente ] se :

[ ]

Una successione si dice monotona quando è crescente ,oppure strettamente crescente , oppure decrescente , oppure strettamente decrescente .

A volte si parla di successione strettamente monotona se essa è strettamente crescente o strettamente decrescente .

Una successione che ammette limite finito o infinito si dice regolare .

Una successione che non ammette limite si dice ( oscillante o ) indeterminata . Una successione monotona è sempre regolare . Una successione si dice limitata quando sono finiti sia l'estremo superiore che l'estremo inferiore del codominio di ƒ .

Definizione N° 2 ( successione convergente )

Si dice che la successione ha per limite il numero l ( o che converge ad l o che tende l ) e si scrive quando , fissato un numero e positivo ed arbitrario , è possibile determinare in corrispondenza un indice tale che per ogni si abbia :

cioè :

La precedente definizione in termini simbolici diventa :

Û

Per verificare che la successione converge al numero l si procede come segue :

1) si sceglie in maniera arbitraria il numero positivo e

2) si risolve l'inequazione

3) se questa inequazione ammette come soluzione il limite è verificato ; in caso contrario la successione non converge al numero l .

Definizione N° 3 : ( successione divergente positivamente )

Si dice che la successione tende a ( o diverge a ) e si scrive

quando , scelto un numero positivo ed arbitrario K ( e come tale grande a piacere ) , è possibile determinare in corrispondenza un numero positivo tale che per ogni numero naturale si abbia : .

Tradotta in simboli , la precedente definizione diventa :

Û

Definizione N° 4 : ( successione divergente negativamente )

Si dice che la successione tende a ( o diverge a ) e si scrive

quando , scelto un numero positivo ed arbitrario K ( e come tale grande a piacere ) , è possibile determinare in corrispondenza un numero positivo tale che per ogni numero naturale si abbia : .

Tradotta in simboli , la precedente definizione diventa :

Û

Definizione N° 5 : ( successione divergente )

Si dice che la successione tende a ( o diverge a ) e si scrive

quando , scelto un numero positivo ed arbitrario K ( e come tale grande a piacere ) , è possibile determinare in corrispondenza un numero positivo tale che per ogni numero naturale si abbia : .

Tradotta in simboli , la precedente definizione diventa :

Û

Definizione N° 6 : ( successione che diverge oscillando )

Si dice che la successione , in cui sia i termini positivi che quelli negativi siano in numero infinito , diverge oscillando ad , se per ogni K > 0 grande a piacere è possibile determinare in corrispondenza un indice tale che si abbia :

La successione di termine generale diverge positivamente , la successione di termine generale diverge oscillando in quanto i suoi termini sono alternativamente positivi e negativi , mentre finisce col diventare grande a piacere .

Definizione N° 7 : ( di successione indeterminata )

Una successione che non sia né convergente né divergente si dice indeterminata

Sono successioni regolari le successioni convergenti e quelle divergenti . Non sono successioni regolari le successioni indeterminate e le successioni che divergono oscillando .

Ogni successione convergente è limitata

TEOREMA N° 2 ( dell ' unicità del limite )

<< Se una successione tende ad un limite l ( finito o infinito ) esso è unico >>

Dimostriamo questo teorema per assurdo , ammettendo che sia contemporaneamente :

Senza ledere la generalità del problema possiamo supporre . Allora è possibile fissare il numero positivo ed arbitrario e in modo che risulti :

Þ [1]

Þ [2]

Le [1] e [2] valgono contemporaneamente per dove è il maggiore dei due numeri positivi n₁ ed n₂ . Quindi per possiamo scrivere :

Da queste due disuguaglianze deduciamo che : e quindi possiamo scrivere : Þ Þ

Questa disuguaglianza contrasta con l'ipotesi formulata all'inizio della dimostrazione . L'assurdo si toglie ammettendo che il limite della successione , quando esiste , è unico .

Teorema N° 3 ( della permanenza del segno )

<< Se una successione tende al limite l positivo ( negativo ) , i suoi termini sono definitivamente positivi ( negativi ) , cioè esiste un numero tale che ( ) >>

Con parole diverse possiamo dire che se una successione tende ad un limite l non nullo , allora da un certo indice in poi tutti i termini della successione hanno lo stesso segno di l .Teorema N° 4 ( inverso del teorema della permanenza del segno )

Sia data la successione tale che sia [ ] , almeno da un certo indice in poi .

Allora , se esiste il si ha : [ ]

Teorema N° 5 : ( del confronto fra limiti , detto anche teorema dei carabinieri )

Siano , , tre successioni tali che :

( almeno da un certo indice in poi ) . Se le successioni e convergono al limite l , anche la successione converge al limite l , cioè :

[ , ] Þ

Criterio generale di convergenza ( di Cauchy )

C.N.S. perché la successione sia convergente è che , fissato un numero e positivo ed arbitrario , si possa determinare in corrispondenza un numero positivo tale che , per due indici r ed s entrambi maggiori di , si abbia :

Tradotta in simboli , la precedente definizione diventa :

Û

Oppure , in maniera del tutto equivalente , possiamo dire che C.N.S. perché la successione sia convergente è che , fissato un numero e positivo ed arbitrario , è possibile determinare in corrispondenza un numero positivo tale , per ogni e per ogni si abbia .

oppure,in forma del tutto equivalente si abbia :

Ogni successione che verifica questo criterio generale di convergenza dicesi successione di Cauchy.

E' bene notare come nella condizione di Cauchy non compaia il valore del limite della successione .

Una successione è convergente se e solo se è di Cauchy

Teorema N° 7 ( della somma )

Se due successioni e hanno per limiti rispettivamente i numeri , la successione ha per limite il numero .

, Þ

Teorema N° 8 ( della differenza )

Se due successioni e hanno per limiti rispettivamente i numeri , la successione ha per limite il numero .

, Þ

Teorema N° 9 , Þ

Una costante moltiplicativa può essere portata fuori dal simbolo di limite .

Teorema N°10 ( del prodotto )

Se due successioni e hanno per limiti rispettivamente i numeri , la successione ha per limite il numero , cioè il limite del prodotto di due successioni è uguale al prodotto dei limiti , , Þ

Teorema N° 11 ( della successione reciproca )

Se la successione tende al limite , la successione reciproca tende al limite .

Þ

Teorema N° 12 ( del quoziente )

Se la successione ha per limite il numero e la successione , priva di elementi nulli , converge ad , la successione converge al numero .

Siano e due successioni convergenti per le quali risulti : ,

allora , se , se e si ha :

Risultano utili per il calcolo di limiti di successioni che si presentano in forma indeterminate le seguenti regole di Cesaro .

Teorema N° 15 ( prima regola di Cesaro )

· Se e sono due successioni numeriche monotone ed infinitesime ( cioè due successioni

per le quali risulta )

· se

· se esiste finito o infinito il seguente limite

allora esiste anche il limite e si ha :

Teorema N° 16 ( seconda regola di Cesaro )

· Se e sono due successioni numeriche

· Se

· Se la successione è monotona crescente e divergente a ( oppure monotona decrescente e divergente a ) . Nessuna ipotesi si formula sulla successione

· se esiste finito o infinito il seguente limite allora esiste anche il limite

e si ha :

· I due teoremi di Cesaro costituiscono delle condizioni sufficienti ma non necessarie per l'esistenza del limite :

Essi sono l'equivalente dei due teoremi di De L'Hospital per le funzioni continue ƒ(x) .

· Dalle due regole di Cesaro derivano cinque regole pratiche che alcuni autori chiamano applicazioni delle regole di Cesaro .

Se la successione ha limite l , finito o infinito , anche la successione ha lo stesso limite l , cioè :

Se le successioni e sono convergenti ed hanno per limiti rispettivamente i numeri a e b , allora la successione risulta convergente ed ha per limite il numero , cioè :

=

Se la successione a termini positivi ammette limite l , finito o infinito , anche la successione ammette lo stesso limite l , cioè :

· Se la successione è a termini positivi

· se la successione ha limite l , finito o infinito , allora la successione ha lo stesso limite , cioè :

· 1) Se la successione è a termini positivi

2) se risulta :

allora la successione converge a zero ( cioè risulta infinitesima ) in quanto si ha :

· Se invece risulta :

allora la successione diverge positivamente

· Nulla può dirsi sul carattere della successione se risulta :

se

, se ,

se

se

In particolare abbiamo :

In quanto risulta :

= se

se

con ,

se ;

= = =

,

= =

=

con . Per individuare il segno di ¥ bisogna conoscere il segno di a e la parità o disparità dell'esponente p .

Le seguenti successioni divergenti sono ordinate in senso crescente di rapidità :

¯ Sia data una successione di numeri reali [1]

Una scrittura del tipo :

esprimente la somma di infiniti termini non ha significato nel senso ordinario di somma .

Possiamo però dargliene uno calcolando le somme :

[2]

.................................................................

e considerando la successione che così si ottiene : [3]

La successione di termine generale prende il nome di SERIE NUMERICA .

Una serie numerica può essere indicata con una delle due seguenti scritture :

[4]

L'espressione [5]

detta serie numerica di termine generale , ha un carattere puramente formale in quanto

l ' operazione di somma non è definita quando il numero di addendi è infinito .

Tali scritture simboliche servono però a significare che si vuole ricavare la successione [3] .

I numeri si dicono i termini della serie ; è il termine generale .

Le espressioni si chiamano le somme parziali o le ridotte della serie [5] .

La [3] è la successione delle somme parziali della serie [5] .

Lo studio di una serie non è altro che lo studio di una successione i cui termini vengono generati da una particolare legge di formazione .

Poichè una serie è una successione , essa può essere convergente , divergente , oscillante ( o indeterminata ) a seconda che tale sia la successione delle sue ridotte .

Se la successione è REGOLARE ed ha limite S ( finito o infinito ) diremo che la serie [5] è REGOLARE ed ha per somma [6]

Se la successione delle somme parziali converge al limite S , è naturale considerare S come la somma degli infiniti addendi nell'ordine in cui si presentano .

La serie [5] diverge positivamente o negativamente se diverge positivamente o negativamente la successione . Si scrive : [7]

Qualora una serie risulti convergente , detto S il limite della successione [3] :

si dirà che S è la somma della serie e si potrà scrivere :

[8]

Il carattere di una serie esprime la sua proprietà di essere convergente , divergente,indeterminata .

Si dice che due serie hanno lo stesso carattere quando sono entrambe convergenti , divergenti o indeterminate .

Il carattere di una serie non si altera se moltiplichiamo tutti i suoi termini per uno stesso numero non nullo , o se trascuriamo un numero finito di suoi termini .

Una serie i cui termini , almeno da un certo indice in poi , siano tutti positivi ( o tutti negativi ) non può essere indeterminata .

Dicesi resto ennesimo ( o resto di ordine n ) della serie [5] la serie che si ottiene da essa sopprimendo i primi n termini

[9]

La serie [5] ed ogni suo resto hanno sempre lo stesso carattere , cioè sono entrambe convergenti , o divergenti , o indeterminate . Inoltre R_n rappresenta , in valore assoluto , l'errore che si commette quando la somma della serie viene sostituita dalla somma dei suoi primi n termini .

Dicesi resto parziale di indici n e k della serie [5] la somma di k termini successivi al termine a_n , cioè :

[10]

Si dice che la serie è convergente ed ha per somma S se è possibile determinare in corrispondenza un indice tale che si abbia:

Si dice che la serie è divergente se scelto un numero positivo ed arbitrario K ( e come tale grande a piacere ) è possibile determinare in corrispondenza un indice tale che si abbia :

( Criterio di Cauchy per la convergenza di una serie o criterio generale di convergenza di Cauchy )

C.N.S. perchè la serie sia convergente è che fissato un arbitrario numero positivo , è possibile determinare in corrispondenza un indice , tale che per ogni e qualunque sia il numero naturale k , si abbia :

( condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza di una serie )

Condizione necessaria perché una serie sia convergente è che il suo termine generale tenda a zero quando . Se la serie [5] è convergente allora deve essere :

Di conseguenza , se risulta allora la serie è sicuramente divergente .

Se invece risulta la serie può essere sia convergente che divergente .

Date due serie numeriche e e scelte due costanti , definiamo serie combinazione lineare delle due serie date la seguente serie :

In particolare , per h = k = 1 abbiamo la serie somma , per h = 1 , k = - 1 abbiamo la serie differenza , per k = 0 abbiamo la serie prodotto per il numero reale h .

Se le serie e sono convergenti ed hanno per somma rispettivamente S₁ , S₂ allora la serie combinazione lineare è convergente e la sua somma S vale .

La somma o la differenza di due serie convergenti è una serie convergente .

Se una serie converge e l'altra diverge , la somma algebrica delle due serie diverge .

¯ Una serie può essere intesa come quell'algoritmo ( procedimento di calcolo ) che permette di ottenere la somma di un numero infinito di termini mediante l'associazione dell'operazione aritmetica di addizione a quella di passaggio al limite .

¯ Studiare una serie significa stabilirne il carattere ed , eventualmente , calcolarne ls somma S .

¯ La somma S può essere calcolata solo se riusciamo a trasformare la somma dei primi n termini in una espressione algebrica data da una formula matematica . Per le serie telescopiche e per le serie geometriche è sempre possibile calcolare S .

· Per dire che la serie converge scriviamo per dire che la serie diverge scriviamo .

Si tratta di serie i cui termini sono tutti positivi , almeno a partire da un certo indice in poi .

Infatti , se in una serie i termini risultassero positivi soltanto da un certo indice p in poi , potremmo ricondurci agevolmente ad una serie a termini tutti positivi considerando la serie resto R_p che , come sappiamo , ha lo stesso carattere della serie data . Le serie i cui termini sono tutti negativi si trattano alla stessa maniera delle serie a termini positivi . Adesso stabiliamo per queste serie a termini positivi dei criteri che ci consentano di stabilire se una serie è convergente o divergente .

¯ Una serie a termini positivi non può essere oscillante , essa o è convergente o è divergente positivamente .

Per le serie a termini positivi valgono particolari criteri di convergenza o di divergenza che ,però,a differenza del criterio di Cauchy , danno solo condizioni sufficienti ma non necessarie .

¯ Si dice che la serie è maggiorante della serie e questa è minorante della prima se risulta :

In questo caso la somma dei primi n termini della prima serie non è mai minore ( ) della somma dei primi n termini della seconda serie .

¯ Criterio del confronto ( di GAUSS )

Siano date due serie a termini positivi e e supponiamo che la prima serie sia maggiorante delle seconda serie . Allora :

1) se la serie maggiorante è convergente risulta pure convergente la serie minorante

2) se la serie minorante diverge ( positivamente ) anche la serie maggiorante diverge

positivamente .

La serie è convergente in quanto è minorante della serie geometrica che è convergente in quanto la sua ragione è minore di uno .

¯ Secondo criterio del confronto ( o criterio del confronto asintotico )

Siano e due serie a termini positivi per le quali risulta : [11]

Se risulta :

1) k = numero reale finito diverso da zero , le due serie hanno lo stesso carattere, cioè sono entrambe convergenti o entrambe divergenti

2) Ricordando la definizione di successione divergente applicata alla successione avente termine generale , possiamo scrivere : ( almeno da un certo indice in poi ) ed anche :

Questo significa che la serie è maggiorante della serie e quindi , per il teorema del confronto , possiamo affermare che :

<< se la serie converge anche la serie converge , se la serie diverge anche la serie diverge . Nulla possiamo dire se la serie diverge , o se la serie converge.

3) Ricordando la definizione di successione convergente infinitesima a pplicata alla successione avente termine generale , possiamo scrivere : ( almeno da un certo indice in poi ) ed anche . Questo significa che la serie è maggiorante della serie e quindi , per il teorema del confronto , possiamo affermare che :

1) se la serie converge anche la serie converge

2) se la serie diverge anche la serie diverge

3) Nulla possiamo dire se la serie converge o se la serie diverge .

Dal criterio del confronto asintotico possiamo ricavare il seguente notevole criterio dell'ordine di infinitesimo .

Come serie scegliamo la seguente serie armonica generalizzata poiché di essa conosciamo il carattere al variare dell'esponente p . Calcoliamo il seguente limite :

Se risulta :

1) k = numero reale finito non nullo , cioè se allora la serie ha lo stesso carattere della serie armonica generalizzata .

Pertanto la serie converge se p > 1 , diverge se .

2) In questo caso la serie è maggiorata dalla serie armonica generalizzata e se questa converge ( p > 1 ) converge anche , Nulla possiamo dire sul carattere della serie data se la serie armonica generalizzata diverge .

3) In questo caso la serie maggiora la serie armonica generalizzata e se questa diverge ( ) diverge anche .

Nulla possiamo dire sul carattere della serie data se la serie armonica generalizzata converge

1) , la serie converge

2) , la serie diverge

3) , la serie converge

4) , la serie diverge

5) , il criterio è inefficace

6) , il criterio è inefficace

Questo criterio di solito viene utilizzato quando il termine generico a_n della serie è il rapporto di polinomi in n , o il rapporto tra un polinomio in n e qualche espressione irrazionale in n .

Criterio del rapporto ( o di D ' ALAMBERT )

Sia a termini positivi . Se è possibile determinare un numero reale ed un indice p tali che risulti : [14]

la serie è CONVERGENTE , se invece risulta la serie è DIVERGENTE .

Nella pratica non è sempre facile determinare una limitazione del rapporto . Per questo motivo è preferibile considerare il limite di tale rapporto quando .

Si ottengono i seguenti risultati :

1) la serie CONVERGE 2) la serie DIVERGE

3) il criterio è inefficace . Questo significa che il criterio non è adatto a stabilire la convergenza o la divergenza della serie ed è necessario ricorrere ad un altro criterio .

Questo criterio, di solito , si utilizza con efficacia se nel termine generico a_n della serie c'è qualche fattoriale di n o di una sua espressione , o se c'è qualche potenza ennesima di un numero reale dato , cioè una potenza del tipo ( oppure ) .

CRITERIO DELLA RADICE ( o Di Cauchy )

Se da un certo indice in poi risulta la serie CONVERGE , se invece risulta la serie DIVERGE .

Nella pratica ,non essendo agevole la determinazione di una limitazione per il termine generale , è più conveniente considerare il limite per di tale radice . Perveniamo ai seguenti risultati :

SERIE DI MENGOLI ( 1650 )

= =

Passando al limite otteniamo : =

La serie di Mengoli è convergente ed ha somma S = 1 .

= =

=

=

La serie di Bernoulli è convergente ed ha per somma S = 1 .

La serie armonica è chiamata cosi perché i suoi termini sono in progressione armonica ( cioè i loro inversi formano una progressione aritmetica ) .

La serie armonica è divergente . Il termine generico a_n tende a zero quando , perché , però la serie non è convergente .

Se la serie armonica generalizzata diverge positivamente

se la serie armonica generalizzata converge .

Una serie si dice telescopica quando il suo termine generale a_n può essere scritto come differenza di due termini di una medesima successione , calcolati per due valori diversi dell'indice .

Quindi per serie telescopica intendiamo qualsiasi serie che può essere ricondotta alla seguente forma :

La somma S di una serie telescopica convergente vale :

La somma S della serie telescopica è uguale alla somma dei primi k termini della successione .

Si chiama SERIE GEOMETRICA una serie i cui termini formano una progressione geometrica , cioè tali che ognuno di essi si possa ottenere moltiplicando il precedente per uno stesso numero non nullo q , detto ragione della serie geometrica .

Detti a e q , rispettivamente , il primo termine e la ragione della serie geometrica abbiamo :

La somma parziale ennesima è data da :

( i termini della serie sono n+1 )

Perveniamo alle seguenti conclusioni :

1) Se la serie geometrica risulta convergente ed ha come somma

Infatti :

2) Se la serie geometrica diverge positivamente se , negativamente se .

Infatti : se q > 1 abbiamo : e quindi la serie diverge positivamente se , negativamente se .

Se q = 1 la serie geometrica assume la forma :

In questo caso risulta :

e quindi la serie geometrica è divergente .

3) Se la serie geometrica è indeterminata . Infatti non esiste il seguente limite e quindi non esiste neanche : e si conclude che la serie geometrica risulta indeterminata .

Qualche raro autore fa , nell'ipotesi q < -1 , il seguente ragionamento .

ricordando che assume valori positivi ( negativi ) quando n è pari ( dispari ) , e di conseguenza i termini della successione diventano , in valore assoluto, sempre più grandi ma assumono segni alternativamente positivi e negativi . Si dice , in questo caso , che la serie diverge oscillando .

Invece , per q = -1 S_n vale 1 per n pari , 0 per n dispari . La serie geometrica , in questo caso , è indeterminata .

¯ Per a = 1 la serie geometrica assume la forma :

Le conclusioni sono identiche a quelle dedotte precedentemente . In caso di convergenza la somma S vale :

Se è una successione a termini positivi , allora la serie :

[20]

è detta serie a termini di segno alternativamente positivo e negativo o serie a segni alterni o serie di segno alterno o serie alternata o serie a termini alternativamente positivi e negativi .

Se la successione a termini positivi è decrescente () ed infinitesima (), allora la serie a segni alterni [20] è convergente e sussiste la seguente formula di maggiorazione del resto : [21]

Consideriamo la serie a termini reali e di segno qualsiasi

[22]

La serie [23]

dicesi serie dei moduli associata alla serie [22] . Tale serie non può essere indeterminata in quanto i suoi termini sono non negativi .

Una serie si dice assolutamente convergente quando è convergente la serie dei moduli ad essa associata . Quando una serie converge , senza convergere assolutamente , si dice che è semplicemente convergente , o condizionatamente convergente , o semiconvergente .

Quindi una serie si dice semplicemente convergente quando è convergente ma non è assolutamente convergente .

Una serie assolutamente convergente è anche semplicemente convergente . Tale teorema non è invertibile , in quanto una serie può essere semplicemente convergente senza essere assolutamente convergente . Quindi una serie assolutamente convergente converge anche in senso ordinario . Questo significa che se la serie converge allora anche la serie converge . Tale teorema non è invertibile in quanto la serie può essere convergente in senso ordinario senza essere assolutamente convergente .

N.B. Se la serie diverge nulla possiamo dire sul carattere della serie .

· I criteri esposti per le serie numeriche a termini positivi sono altrettanti criteri di convergenza assoluta se applicati alla serie dei moduli