Infinitesimi e infiniti

Si dice che la funzione è un infinitesimo in quando risulta:

Si dice invece che f è un infinito in quando risulta:

In particolare:

f infinito positivo in

f infinito negativo in

Confronto tra infinitesimi e infiniti.

Ordine di un infinito e di un infinitesimo

Siano assegnate due funzioni f(x) e g(x), infinitesime in . Confrontare i loro infinitesimi significa studiare il limite indel loro rapporto, ovvero il:

I casi possibili sono i seguenti:

1) il limite è uguale a 0. Si dice allora che f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g

2) il limite è uguale a.Si dice allora che f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g

3) il limite è finito e diverso da 0. Si dice allora che f e g sono infinitesimi dello stesso ordine. In particolare, se l=1 i due infinitesimi si dicono equivalenti

4) il limite non esiste. In tal caso diremo che i due infinitesimi non sono confrontabili.

In modo analogo ragioneremo se le due funzioni sono entrambe infinite in

In tal caso:

1) il limite è uguale a . Si dice allora che f è un infinito di ordine superiore rispetto a g

2) il limite è uguale a 0.Si dice allora che f è un infinito di ordine inferiore rispetto a g

3) il limite è finito e diverso da 0. Si dice allora che f e g sono infiniti dello stesso ordine.

4) il limite non esiste. In tal caso diremo che i due infinitesimi non sono confrontabili.

NOTAZIONE DI LANDAU

Se f e g sono infinitesime in e se risulta:=0 , per esprimere che f è infinitesimo di ordine superiore rispetto a g si può scrivere:

(si legge: f o piccolo g)

La stessa scrittura, riferita a due infiniti, significa che f è infinito di ordine inferiore rispetto a g.

 

Definiamo ora cosa si intende per ordine di infinitesimo ( di infinito) di una funzione. Per determinarlo occorrerà confrontare la nostra funzione con un’altra, indichiamola con u(x),scelta come infinitesimo ( infinito) campione.

Se risulta: con>0

diremo che f(x) è un infinitesimo ( infinito)di ordine .

Può naturalmente accadere che non esista alcun numero reale tale che f sia infinitesimo in

di ordine . In particolare diremo che f(x) è un infinitesimo di ordine infinitamente grande quando, qualunque sia , f è di ordine maggiore di . Diremo invece che è un infinitesimo di ordine infinitamente piccolo quando, qualunque sia , f è di ordine minore di .

Si verifica facilmente che:

Se f è un infinitesimo in , è un infinito in , e viceversa.

Se f è di ordine maggiore, uguale o minore di , anche è dello stesso ordine.

Nella scelta degli infinitesimi campione, u(x), ci orienteremo così:

Invece, per gli infiniti campione:

 

 

Infinitesimi equivalenti

Abbiamo detto che due infinitesimi sono equivalenti se risulta:

In tal caso scriveremo: f equiv g, ovvero:

 

Nel caso in cui risulti:

chiameremo parte principale di f rispetto a g il prodotto:

Evidentemente allora:

Ad esempio, poiché:

Sono utili allo scopo del calcolo dei limiti le proposizioni seguenti:

1)

2)

3)

4) Aggiungendo o sottraendo ad un infinitesimo f un infinitesimo di ordine superiore, si ottiene un infinitesimo equivalente ad f.

Aggiungendo o sottraendo ad un infinito f un infinito di ordine inferiore, oppure una funzione limitata, si ottiene un infinito equivalente ad f.

5)

 

INFINITESIMI ED INFINITI NOTEVOLI

Al tendere di x verso 0() , l’infinitesimo ( l’infinito)

Al tendere di x verso 0, gli infinitesimi

, tg x, arcsen x, arctg x, log(x+1), ,

sono tutti equivalenti all’infinitesimo x e quindi sono tutti di ordine 1

Per e quindi 1- cos x è un infinitesimo di ordine 2; ed è un infinitesimo del primo ordine; , infinitesimo di ordine 1; , infinitesimo di ordine 1;

Al tendere di x verso l’infinitesimo o infinito è di ordine infinitamente grande ( e quindi non è dotato di ordine)

Al tendere di x verso 0 ( o verso ) l’infinito è di ordine infinitamente piccolo

( quindi non è dotato di ordine)

E’ facile inoltre verificare che:

Siano a e b due numeri reali > 1 e si abbia. a>b. Allora al tendere di x verso ( ovvero verso -) il primo dei due infiniti è di ordine superiore rispetto al secondo;

Qualunque sia , per x che tende a 0 l’infinitesimo è di ordine minore di r , ma maggiore di , , sicché tale infinitesimo non è dotato di ordine

, l’infinitesimo è di ordine minore di r , ma maggiore di , , sicché tale infinitesimo non è dotato di ordine;

l’infinito è di ordine maggiore di r, nonché di ordine minore di , sicché tale infinito non è dotato di ordine;

 

Siano f e g due infinitesimi in , oppure infiniti. Se f e g sono dello stesso ordine, allora

sono equivalenti;

Sia f un infinito positivo in . Se f è dotato di ordine, allora l’infinito è di ordine infinitamente grande.

 

ESEMPI ED APPLICAZIONI

Al tendere di x verso 0 si ha che:

E, in modo analogo:

Sono inoltre valide le seguenti uguaglianze:

 

 

 

Per le proprietà delle funzioni composte:

Al tendere di x verso ∞ si ha che:

TEOREMI SUI LIMITI CHE SI PRESENTANO

IN FORMA INDETERMINATA

Forme indeterminate

Siano:

Poiché il numeratore è equivalente a

Il limite proposto è uguale al seguente:

E, analogamente:

FORMA INDETERMINATA 0*∞

Sussistono le proposizioni seguenti:

1)Siano

Se esiste uno dei limiti:

allora esiste anche l’altro e i due limiti sono uguali.

2) Sia f un infinitesimo in e g un infinito in .

Se f è di ordine r e g di ordine minore di r,allora risulta:

relazione che sussiste anche se g è di ordine r e f di ordine maggiore di r.

3) Siano f un infinitesimo in e un infinitesimo o un infinito in . Se f e sono dotati di ordine , risulta:

 

 

 

 

Si voglia ad esempio calcolare il limite:

Per la proposizione 3):

i due infinitesimi a primo membro sono dotati di ordine, sicché il limite proposto è uguale a 0.

FORMA INDETERMINATA +∞-∞

Sussiste la proposizione:

Siano f e g infiniti positivi in , sicché il limite

(*)

si presenta nella forma indeterminata +∞ -∞

Se in f è di ordine superiore rispetto a g, allora il limite esiste ed è +∞.

Se, detto un infinito positivo in risulta:

con, allora il limite (*) è uguale a

Negli altri casi occorrerà procedere con opportuni artifizi.

 

 

Esempio:

Osserviamo infine il seguente limite, al quale non sono applicabili le precedenti proposizioni:

Si può procedere razionalizzando. Ma vi è anche un altro elegante procedimento: